Filozofia matematyki i informatyki ebook

Wstęp

Zebrane w tym tomie prace powstały w związku z IV Konferencją „Filozofia matematyki i informatyki”, która odbywała się w dniach 5−6 grudnia 2014 roku na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu.

Filozofia matematyki rozwijana jest intensywnie zarówno w Polsce, jak i na świecie. Zajmują się nią uczeni reprezentujący różne dyscypliny: matematycy, logicy, filozofowie, teologowie. Choć bezpośrednio niepotrzebna właściwie dla rozwijania samej matematyki, jest przecież niezbędna dla lepszego zrozumienia tej dziedziny i jej miejsca pośród innych nauk. Ostatnio zauważyć się daje także rozwój refleksji filozoficznej nad młodą dyscypliną, jaką jest informatyka.

Zebrane w tym tomie prace obrazują prowadzone aktualnie w Polsce badania filozoficzne nad matematyką i informatyką. Ich autorzy reprezentują różne ośrodki akademickie i różne specjalności − są wśród nich zarówno matematycy, jak i logicy, filozofowie czy nawet teologowie. Prace poświęcone są bardzo różnym problemom: od rozważania rozwoju i zmian w matematyce i znaczenia metody aksjomatycznej, poprzez badanie klasycznych kierunków filozofii matematyki (dokładniej: logicyzmu), problemów związanych z epistemologią matematyki czy ze związkami matematyki ze światem realnym, rozważanie wpływu paradygmatu ucieleśnionego umysłu na badania nad poznaniem matematycznym, a kończąc na problemach filozoficznych informatyki. Oto pokrótce treść tych prac.

Roman Duda w otwierającej tom pracy Wpływ metody aksjomatycznej na matematykę XX wieku przedstawia rozwój metody aksjomatyczno-dedukcyjnej i rozważa jej znaczenie i wpływ na rozwój matematyki. Zastanawia się nad znaczeniem wyników Gödla o niezupełności oraz badań Chaitina. Pokazuje też, jak rozumienie metody aksjomatycznej wpływało i wpływa na rozwój matematyki i na pojmowanie jej jako nauki.

Zbigniew Król w pracy Podstawowe intuicje w geometrii euklidesowej, czyli jak powstaje matematyka? podejmuje próbę przyjrzenia się od strony epistemologii opisowej tzw. kontekstowi odkrycia w matematyce. Jego analiza oparta jest na próbie znalezienia alternatywnej podstawy intuicyjnej, która może doprowadzić do stworzenia geometrii euklidesowej. Według autora czynnikiem istotnym dla tworzenia wiedzy matematycznej jest tzw. platonizm hermeneutyczny.

Zbigniew Semadeni w rozprawie Transgresje poznawcze jako istotna cecha rozwoju matematyki pokazuje na licznych przykładach, jak dokonywały się zmiany w matematyce, które autor określa mianem matematycznych transgresji poznawczych. Polegają one na przekraczaniu ograniczeń posiadanej uprzednio wiedzy. Przy tym transgresje dokonywać się mogą zarówno w filogenezie, jak i w ontogenezie. Rozważa też różnice między pojęciem matematycznej transgresji poznawczej a pojęciem przeszkody epistemologicznej (w sensie Bachelarda) i pojęciem rewolucji naukowej i zmiany paradygmatu (w sensie Kuhna).

Gabriela Besler omawia najważniejsze wątki korespondencji Fregego i Russella. Wśród nich mamy m.in. poszukiwanie rozwiązania problemu antynomii klas niezwrotnych, dyskusję nad pytaniem o to, co to jest klasa, czy co to jest funkcja. Treść listów pokazuje, jak subtelnie przenikają się w tej korespondencji wątki matematyczne, logiczne i filozoficzne.

Jan Woleński w pracy Dlaczego matematyka nie jest redukowalna do logiki? rozważa tezy logicyzmu o redukowalności matematyki do logiki w świetle wyników metamatematyki. Bada m.in. jaki wpływ na słuszność tego kierunku ma rozumienie logiki (logika pierwszego rzędu, logika drugiego rzędu, logika infinitarna), jakie znaczenie dla logicyzmu mają wyniki Gödla o niezupełności, w jakim stopniu budując i rozwijając logikę korzysta się z samej matematyki.

Krzysztof Wójtowicz bada − rzadko podejmowany w filozofii matematyki, w przeciwieństwie do filozofii nauk przyrodniczych − problem wyjaśniania w matematyce. W szczególności dyskutuje kwestie tego, czy dowód daje ostateczne wyjaśnienie i co właściwie może stanowić explanandum i explanans w matematyce.

Michał Sochański z kolei rozważa − na przykładzie geometrii − znaczenie i rolę diagramów w matematyce w kontekście sporu aprioryzmu z empiryzmem. Zastanawia się też, jaką rolę pełni percepcja w procesie poznania zapośredniczonego przez diagramy.

Jerzy Mycka bada powiązania matematyki i dociekań teologicznych w myśli europejskiej okresu starożytności i średniowiecza. Dopatruje się źródeł tego powiązania w innym niż dziś postrzeganiu roli matematyki oraz w poszukiwaniu przez ówczesnych uczonych i myślicieli adekwatnych środków wyrazu dla teologii. Analizuje ten problem na przykładzie pitagorejczyków, Platona, Proklosa, neoplatonizmu, świętego Augustyna, Boecjusza, Teodoryka z Chartres i wreszcie Mikołaja z Kuzy. Pokazuje w szczególności, jak pojęcia matematyczne były wykorzystywane przez Mikołaja z Kuzy w rozważaniach teologicznych.

Związkom między matematyką a naukami przyrodniczymi poświecona jest z kolei praca Anny Lemańskiej. Problem ten pojawia się zarówno w filozofii matematyki, jak i w filozofii nauki i filozofii przyrody, a jego istota i kształt zależą od dziedziny, w której go formułujemy − w samo bowiem jego sformułowanie uwikłane są pewne założenia dotyczące matematyki, przyrody czy nauk przyrodniczych, a to z kolei ma istotne konsekwencje dla jego rozwiązania. Badane zagadnienie jest ściśle powiązane z dwoma kluczowymi problemami filozoficznymi: problemem natury przedmiotów matematycznych i problemem istoty rzeczywistości przyrodniczej.

Z problemami związanymi z filozofią przestrzeni powiązana jest praca Michała Hellera. Autor pokazuje, że teoria kategorii otwiera nowe perspektywy w filozofii przestrzeni, w szczególności pozwala ona wzbogacić dyskusję dotyczącą absolutystycznej i relacyjnej koncepcji przestrzeni. Wskazuje także, że uogólnienie przestrzeni dokonane przez Grothendiecka może być źródłem inspiracji filozoficznej i że swoista unifikacja geometrii i logiki w teorii toposów zasługuje na refleksję filozoficzną.

Teoria kategorii wykorzystywana jest też w pracy Bartłomieja Skowrona poświęconej omówieniu głoszonej przez Saundersa Mac Lane’a (współtwórcy teorii kategorii) idei proteuszowego charakteru matematyki, wedle której obiekty matematyczne posiadają wiele różnych realizacji w rozmaitych dziedzinach przedmiotowych. Wskazuje się proteuszowy charakter różnych tworów arytmetyki, geometrii czy algebry pokazując, że teoria kategorii może stanowić podstawę takiego ujęcia. Rozważa się także ontologiczne aspekty proteuszowości.

Mateusz Hohol i Krzysztof Cipora dyskutują perspektywy i ograniczenia (modnego obecnie) paradygmatu ucieleśnionego umysłu w badaniach nad poznaniem matematycznym. Rozważają w szczególności liczenie na palcach, matematyczne metafory pojęciowe i efekt SNARC, czyli zależność przestrzenną między liczbą a rodzajem odpowiedzi.

Z tym paradygmatem związane są też rozważania Adama Olszewskiego w pracy O intuicyjnym pojęciu funkcji. Punktem wyjścia jest tu teza Churcha i kwestia jej statusu. Autor analizuje różne koncepcje podmiotu, koncepcje pojęcia w filozofii i w psychologii oraz rozumienie intuicji. Wykorzystując te analizy tworzy − w duchu paradygmatu ucieleśnionego umysłu − metafory efektywnej obliczalności i zasady ciągłości. Twierdzi, że metafory pozwalają odnosić do siebie i łączyć pojęcia intuicyjne i analityczne.

Na inne jeszcze uzależnienie myślenia matematycznego zwraca uwagę praca Ewy Piotrowskiej, omawiająca podstawowe założenia i wyniki tzw. etnomatematyki − czyni to głównie na przykładzie prac Ubiratana D’Ambrosio. Pokazuje, jak badanie myślenia matematycznego różnych ludów (zamiast ograniczania się jedynie do kręgu europejskiego) wzbogaca obraz matematyki i jakie może mieć znaczenie na przykład w dydaktyce. Podkreśla mocno kulturowy wymiar matematyki.

Jerzy Pogonowski z kolei − na bazie prowadzonych przez siebie zajęć z matematyki dla studentów różnych kierunków humanistycznych − śledzi, jakimi drogami porusza się myśl przy szukaniu rozwiązań rozmaitych problemów (ujętych najczęściej w formie zagadek). Wskazuje na rolę intuicji matematycznej pokazując jej zmienność oraz wpływ na nią patologii i paradoksów.

Dwie zamykające tom prace należą już bezpośrednio do filozofii informatyki. Izabela Bondecka-Krzykowska przedstawia w swoim artykule różne koncepcje ontologiczne dotyczące komputerów jako obiektu badań informatyki. Wskazuje na zalety i wady poszczególnych koncepcji oraz na trudności, na jakie natrafiamy próbując ustalić status ontologiczny komputera.

Paweł Stacewicz z kolei rozważa w swojej pracy pytanie, gdzie nieskończoność pojawia się w informatyce i czy sprawia tam kłopot. Wyróżnia trzy konteksty: kontekst działania, kontekst struktury i kontekst wyników działań procedur informatycznych. Zastanawia się nad związkiem nieskończoności i problemów nieobliczalnych (odróżniając problemy nieobliczalne zasadniczo i praktycznie). W końcu bada nieskończoność w kontekście programów uczących się. Rozważania nad nieskończonością w informatyce prowadzą w szczególności do pytań typu: czy świat jest cyfrowy czy też analogowy, czy świat jest deterministyczny czy niedeterministyczny, czy w końcu do pytania o konieczność podporządkowania działań ludzkich i maszynowych pewnemu podstawowemu systemowi wartości.

Wydanie tomu możliwe było dzięki wsparciu finansowemu Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, za które serdecznie dziękuję. Dziękuję też Księdzu Profesorowi Michałowi Hellerowi za poparcie inicjatywy wydania tego tomu i za wspieranie nas w rozmowach z Copernicus Center Press.

Poznań, w kwietniu 2015 roku

Roman Murawski