Moda, wiara i fantazja we współczesnej fizyce Wszechświata ebook

Podziękowania

Dość długi proces dojrzewania tej książki sprawił, że mojej pamięci umknęło wiele źródeł, z których czerpałem w trakcie jej pisania. Wszystkim moim przyjaciołom i współpracownikom, którzy służyli mi pomocą, ale których nazwisk teraz nie pomnę, oferuję więc jednocześnie wyrazy wdzięczności i przeprosiny. Są też oczywiście ci, którym jestem winien szczególnie gorące podziękowania, w szczególności mojej długoletniej współpracowniczce Florence Tsou (Sheung Tsun) za jej (oraz jej męża, Chan Hong-Mo) wielką pomoc w zakresie fizyki cząstek. Mój jeszcze dawniejszy kolega Ted (Ezra) Newman od wielu lat nieustannie dostarcza mi wskazówek i wsparcia. Wiele zawdzięczam też wiedzy i umiejętnościom Abhaya Ashtekara, Krzysztofa Meissnera i Andrzeja Trautmana. Współpracownicy z Oxfordu, Paul Tod, Andrew Hodges, Nick Woodhouse, Lionel Mason i Keith Hannabuss również w dużym stopniu wpłynęli na mój sposób myślenia. Wiele na temat kwantowania grawitacji nauczyli mnie Carlo Rovelli i Lee Smolin. Na szczególne podziękowanie zasługuje Shamit Kachru za staranną lekturę wczesnych wersji tej książki, i choć wątpię, czy z radością przyjmie wyrażone tu zastrzeżenia wobec teorii strun, krytyka z jego strony wielce pomogła mi w uniknięciu wielu błędów i nieporozumień.

Różnego typu wkład w powstanie tej książki mieli też: Fernando Alday, Nima Arkani-Hamed, Michael Atiyah, Harvey Brown, Robert Bryant, Marek Demianski, Mike Eastwood, George Ellis, Jörge Frauendiener, Ivette Fuentes, Pedro Ferreira, Vahe Gurzadyan, Lucien Hardy, Denny Hill, Lane Hughston, Claude LeBrun, Tristan Needham, Sara Jones Nelson, Pawel Nurowski, James Peebles, Oliver Penrose, Simon Saunders, David Skinner, George Sparling, John Statchel, Paul Steinhardt, Lenny Susskind, Neil Turok, Gabriele Veneziano, Richard Ward, Edward Witten i Anton Zeilinger.

Richard Lawrence i jego córka Jessica służyli mi bezcenną pomocą przy wyszukiwaniu faktów. W kwestiach administracyjnych korzystałem z pomocy Ruth Preston, Fiony Martin, Petrony Winton, Edyty Mielczarek i Anne Pearsall. Jestem niezwykle wdzięczny Vickie Kearn z Princeton University Press za jej wielką cierpliwość, wsparcie i zachętę, a także jej współpracowniczkom i współpracownikom: Carminie Alvarez za projekt okładki, Karen Fortgang i Dimitriemu Karetnikovi za pomoc przy tworzeniu diagramów oraz Jonowi Wainwrightowi z T&T Productions Ltd za staranną redakcję.

Moja wspaniała żona Vanessa podtrzymywała mnie w trudniejszych chwilach swą miłością, krytycznym wsparciem i wiedzą techniczną – nie raz cudownie ratując mnie, gdy na pozór beznadziejnie splątałem się przy pracy z komputerem. Wielkie podziękowanie dla niej i dla naszego nastoletniego syna Maxa, którego umiejętności techniczne i kochające wsparcie były bezcenne.

Prawa do ilustracji

Autor pragnie z wdzięcznością wymienić następujących posiadaczy praw do ilustracji.

Rys. 1-35: Za: Rovelli [2004].

Rys. 1-38: M. C. Escher, Circle Limit I c 2016 The M. C. Escher Company – The Netherlands. Wszelkie prawa zastrzeżone. www.mcescher.com

Rys. 3-1: M. C. Escher, (a) Photo of Sphere, (b) Symmetry Drawing E45, (c) Circle Limit IV c 2016 The M. C. Escher Company – The Netherlands. Wszelkie prawa zastrzeżone. www.mcescher.com

Rys. 3-38 (a) i (b): Z: „Cosmic Inflation”, Andreas Albrecht, w: Structure Formation in the Universe (Red. R. Crittenden i N. Turok). Wykorzystane za pozwoleniem Springer Science and Business Media.

Rys. 3-38 (c): Z: „Inflation for Astronomers”, J. V. Narlikar i T. Padmanabhan, w wersji zmodyfikowanej: Ethan Siegel w „Why we think there’s a Multiverse, not just our Universe” (https://medium.com/starts-with-a-bang/why-we-think-theres-a -multiverse-not-just-our-universe-23d5ecd33707#.3iib9ejum). Wykorzystane za zgodą Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 1 września 1991, tom 29 c. Annual Reviews, http://www.annualreviews.org.

Rys. 3-38 (d): Z: „Eternal Inflation, Past and Future”, Anthony Aguirre, w: Beyond the Big Bang: Competing Scenarios for an Eternal Universe (The Frontiers Collection) (Red. Rudy Vaas). Wykorzystane za pozwoleniem Springer Science and Business Media.

Rys. 3-43: Prawo autorskie: ESA oraz Planck Collaboration

Wszystkie pozostałe ilustracje (oprócz wykresów widocznych na Rys. 2-2, 2-5, 2-10, 2-25, 3-6(b), A-1, A37, A-41, A-44, i A-46) zostały narysowane przez autora.

WstępCzy moda, wiara i fantazja mają znaczenie w fizyce fundamentalnej?

Niniejsza książka powstała na podstawie trzech wykładów, które wygłosiłem na Uniwersytecie Princeton w październiku 2003 roku na zaproszenie Princeton University Press. Tytuł, który zaproponowałem dla tych wykładów – Fashion, Faith and Fantasy in the New Physics of the Universe – i który teraz stanowi tytuł niniejszej książki, został przeze mnie wybrany być może nieco zbyt pośpiesznie. Wyrażał on jednak mój autentyczny niepokój odnośnie powszechnych wówczas trendów w myśleniu o prawach fizyki rządzących Wszechświatem, w którym żyjemy. Od tego czasu minęło już ponad dziesięć lat, ale poruszane przeze mnie tematy, i to, co mam na ich temat do powiedzenia, wydają mi się być w większości równie istotne teraz, co wtedy. Powinienem przy tym dodać, że przedstawiałem wówczas moje wykłady z niejakim niepokojem, ponieważ wyrażałem w nich poglądy, które mogły zostać przyjęte niezbyt przyjaźnie przez siedzących na sali uznanych ekspertów.

Każde z tych trzech słów – „moda”, „wiara” i „fantazja” – przywodzi na myśl coś, co wydaje się poważnie kłócić z procedurami, które są zwykle uznawane za odpowiednie przy poszukiwaniu głębokich praw rządzących zachowaniem się naszego Wszechświata na najbardziej podstawowym poziomie. I rzeczywiście: w idealnym świecie czynniki takie, jak moda, wiara i fantazja powinny być całkowicie nieobecne w umysłach osób poważnie oddanych poszukiwaniu fundamentalnych podstaw Wszechświata. Przyroda sama w sobie nie ma przecież żadnego poważnego interesu w zajmowaniu się efemerycznymi trendami w ludzkiej modzie. Nauka nie powinna być uważana za zjawisko oparte na wierze, skoro tezy naukowe podlegają stałej, szczegółowej analizie i są poddawane rygorom badań eksperymentalnych, a gdy tylko pojawia się konflikt pomiędzy nimi a rzeczywistością przyrodniczą, powinny zostać natychmiast porzucone. Fantazja zaś jest z pewnością domeną przedstawicieli świata fikcji i rozrywki, gdzie nie ma znaczenia, czy to, o czym mowa, jest zgodne z obserwacjami, logiką czy nawet zwykłym zdrowym rozsądkiem. I rzeczywiście – gdyby dało się wykazać, że pewna teoria naukowa jest pod zbyt silnym wpływem mody, albo ślepo podąża za niepotwierdzonymi eksperymentalnie dogmatami, albo ściąga ją ku romantycznym fantazjom, to byłoby naszym obowiązkiem wskazać na tego typu tendencje i odwieść od nich każdego, kto, nawet nieświadomie, mógłby się znaleźć pod ich wpływem.

Nie chciałbym jednak mieć wyłącznie negatywnego nastawienia do tych trzech motywów. Można bowiem podjąć się obrony tezy, że w każdym z tych tytułowych terminów kryje się coś pozytywnego. Bądź co bądź, modna teoria nie stała się raczej taką z powodów czysto socjologicznych. Do bardzo modnego obszaru badawczego muszą przyciągać naukowców jakieś cechy pozytywne danej teorii – i nie jest to raczej sama czysta chęć bycia częścią tłumu badaczy zajmującego się niebywale czasem trudną dziedziną nauki. Ów poziom trudności często wynika właśnie z tego, że w szczególnie modnych tematach badawczych występuje silna konkurencja pomiędzy naukowcami.

Należy w tym momencie wyjaśnić pewną kwestię, dotyczącą badań w tych dziedzinach fizyki teoretycznej, które mogą być modne, jednak nie można ich uważać za wiarygodny opis świata; czasem, o czym będzie mowa później, bywają one w ewidentnej sprzeczności ze współczesnymi obserwacjami. Choć osoby zajmujące się zawodowo tą tematyką wiele by zyskały, gdyby wyniki obserwacyjne okazały się być zgodne z ich poglądem na świat, często wydają się być niespecjalnie przejęci tym, że fakty nie są po ich stronie w takim stopniu, w jakim mogliby sobie tego życzyć. Nie jest to całkowicie nierozsądne – tego typu badania mają charakter rozpoznawczy – uważa się, że sama praca nad tymi teoriami jest źródłem użytecznej wiedzy, która przyda się później przy odkrywaniu teorii lepiej opisujących, w jaki sposób rzeczywiście zachowuje się znany nam Wszechświat.

Jeśli chodzi o potężną wiarę w niektóre dogmaty naukowe, często wyrażaną przez naukowców, również i ona wydaje się mieć silne uzasadnienie, nawet wtedy, gdy jest to wiara w stosowanie się tych dogmatów w okolicznościach, które dalece wykraczają poza pierwotny kontekst, w którym uzyskano ich silne potwierdzenie obserwacyjne. Bywa tak, że wybitne teorie fizyczne z przeszłości utrzymają swoją wspaniałą precyzję nawet wtedy, gdy w określonych przypadkach zostały zastąpione przez lepsze teorie, które posiadają szerszy zakres stosowalności lub większą precyzję. Taka z pewnością była sytuacja, gdy wspaniała teoria grawitacji Newtona została skonfrontowana z teorią Einsteina; albo gdy piękna Maxwellowska elektromagnetyczna teoria światła została zastąpiona przez swoją własną skwantowaną wersję, dzięki której możliwe było zrozumienie cząsteczkowego aspektu światła (fotonów). W każdym takim przypadku poprzednia teoria pozostaje godna zaufania, jeśli tylko stale pamięta się o jej ograniczeniach.

Co zaś z fantazją? Czy nie jest oczywiste, że w nauce powinniśmy dążyć do czegoś zupełnie przeciwnego? W dalszej części książki będzie jednak mowa o tym, że niektóre zasadnicze cechy świata przyrody są tak zdumiewające i przedziwne (choć nie zawsze wszyscy zdają sobie sprawę, że tak właśnie jest), że gdybyśmy nie oddawali się czasem czemuś, co może zdawać się szaleńczym aktem fantazji, nie mielibyśmy żadnej szansy zrozumienia prawdy, która na pierwszy rzut oka może wydawać się nieprawdopodobnie wręcz fantastyczna.

W pierwszych trzech rozdziałach zamierzam zilustrować te trzy tytułowe zjawiska za pomocą trzech dobrze znanych teorii, lub rodzin teorii. Nie wybrałem do tego celu dziedzin o względnie niewielkim znaczeniu dla fizyki, ponieważ szczególnie interesują mnie grube ryby w oceanie współczesnej aktywności w fizyce teoretycznej. W rozdziale pierwszym postanowiłem odnieść się do wciąż wysoce modnej teorii strun (lub superstrun, lub jej uogólnień, jak M-teoria, lub najbardziej obecnie modnego aspektu tego pola badawczego, a mianowicie kwestii związanych z korespondecją AdS/CFT). „Wiara”, o której będę mówił w rozdziale drugim, to jeszcze grubsza ryba, a mianowicie dogmat głoszący, że należy niewolniczo stosować procedury mechaniki kwantowej, bez względu na to, jak wielkie lub masywne są obiekty fizyczne, które badamy. Pod pewnymi względami temat poruszony w rozdziale trzecim jest największą ze wszystkich ryb, ponieważ w rozdziale tym będziemy się zajmować pochodzeniem Wszechświata takiego, jaki znamy, przyglądając się pewnym propozycjom mogącym się wydawać czystą fantazją, które wysunięto w celu wyjaśnienia pewnych prawdziwie niepokojących osobliwości, ujawnionych przez pewne powszechnie uznawane obserwacje wczesnych faz ewolucji Wszechświata.

W końcu, w rozdziale czwartym, przedstawiam szereg własnych poglądów, aby pokazać, że istnieją alternatywne ścieżki, którymi można podążać przy rozwiązywaniu wspomnianych przed chwilą problemów teoretycznych. Okaże się jednak przy tym, że podążanie wskazanymi przeze mnie ścieżkami nie obyłoby się bez nutki ironii. Ironiczna jest tu choćby sama kwestia mody, jeśli chodzi o preferowaną przeze mnie drogę ku zrozumieniu fizyki fundamentalnej – drogę, którą skrótowo przedstawię w §4.1. Ścieżkę tę wyznacza teoria twistorów, którą sam rozwinąłem i która od mniej więcej czterdziestu lat cieszy się niewielkim zainteresowaniem w świecie fizyki. Okazuje się jednak, że teoria twistorów zaczyna się cieszyć pewną popularnością, wynikającą z jej powiązań z teorią strun.

Jeśli chodzi o nadrzędną, niewzruszoną wiarę w mechanikę kwantową, którą wydaje się podzielać zdecydowana większość fizyków, uzyskała ona znaczące wsparcie za sprawą wielu wspaniałych eksperymentów, jak choćby tych przeprowadzonych przez Serge Haroche’a i Davida Winelanda, zasłużenie wyróżnionych Nagrodą Nobla z fizyki w 2012 roku. Ponadto Nagroda Nobla z fizyki z 2013 roku, przyznana została Peterowi Higgsowi i François Englertowi za ich udział w teoretycznym przewidzeniu istnienia cząstki, którą dziś nazywa się bozonem Higgsa, co stanowiło uderzające potwierdzenie nie tylko ich własnych (powstałych przy udziale licznych współpracowników, do których należeli zwłaszcza Tom Kibble, Gerald Guralnik, Carl Hagen i Robert Brout) poglądów na temat pochodzenia mas cząstek, ale również fundamentalnych aspektów teorii kwantowej (zwłaszcza: kwantowej teorii pola) samej w sobie. A jednak, o czym będzie mowa w §4.2, wszystkie tego typu wyrafinowane eksperymenty, które przeprowadzono do dziś, wciąż są jeszcze odległe od osiągnięcia takiego poziomu przemieszczenia masy (o czym piszę w §2.13), który byłby niezbędny, aby móc poważnie mówić o postawieniu znaczącego wyzwania naszej kwantowej wierze. Trwają obecnie prace nad innymi eksperymentami celującymi w osiągnięcie odpowiedniego stopnia przemieszczenia masy, a które – jak twierdzę – mogłyby pomóc nam rozwiązać niektóre spośród poważnych konfliktów pomiędzy obecną postacią mechaniki kwantowej a innymi uznanymi zasadami fizyki, mianowicie ogólną teorią względności Einsteina. W §4.2 zwracam uwagę na poważny konflikt między obecną postacią mechaniki kwantowej a podstawową zasadą Einsteina głoszącą równoważność pola grawitacyjnego i przyspieszenia. Być może okaże się, że wyniki tych eksperymentów pomogą podważyć niekwestionowaną wiarę w mechanikę kwantową, która zdaje się być tak powszechnie wyznawana. Z drugiej strony, można zapytać, dlaczego mielibyśmy pokładać silniejszą wiarę w Einsteinowską zasadę korespondencji niż w zdecydowanie dogłębniej przetestowane fundamentalne procedury mechaniki kwantowej? To dobre pytanie – można słusznie argumentować, że przyjęcie zasady Einsteina wiąże się przynajmniej z równie silnym aktem wiary, co przyjęcie prawideł mechaniki kwantowej. Jest to kwestia, która może doczekać się rozstrzygnięcia eksperymentalnego w niedalekiej przyszłości.

Jeśli natomiast chodzi o poziom fantazji, którym oddają się współcześnie kosmolodzy, chciałbym zasugerować w §4.3 (jako ostateczny element ironii), że model, który ja sam przedstawiłem w 2005 roku – konforemna kosmologia cykliczna, CCC – jest pod pewnymi względami jeszcze bardziej fantastyczny niż te wszystkie niesamowite propozycje, z którymi zetkniemy się w rozdziale trzecim, spośród których niektóre na trwałe wpisały się w toczone obecnie dyskusje na temat wczesnych stadiów rozwoju Wszechświata. A jednak CCC wydaje się powoli ujawniać jako teoria mająca, zgodnie z posiadanymi przez nas współcześnie danymi obserwacyjnymi, pewne oparcie w faktach fizycznych. Należy mieć oczywiście nadzieję, że w najbliższym czasie pojawią się przekonujące dane obserwacyjne, które pozwolą nam na przekształcenie czegoś, co dziś w większym czy mniejszym stopniu wydaje się być czystą fantazją, takiego czy innego rodzaju, w przekonujący obraz natury naszego Wszechświata. Należy jednak w tym miejscu zauważyć, że w przeciwieństwie do fantazji teorii strun oraz większości modeli teoretycznych mających podważyć naszą wiarę w reguły mechaniki kwantowej, te akurat fantastyczne propozycje, które mają za cel opisanie najwcześniejszej fazy ewolucji Wszechświata, są już dziś konfrontowane z bardzo szczegółowymi badaniami eksperymentalnymi, jak choćby z potężnymi zbiorami danych pozyskanymi przez obserwatoria kosmiczne COBE, WMAP i Planck, a także z obserwatorium BICEP2 na Biegunie Południowym. W momencie pisania tych słów istnieją poważne problemy interpretacyjne dotyczące danych z tego obserwatorium, opublikowanych w marcu 2014 roku, ale powinny one zostać rozwiązane w najbliższym czasie. Być może niedługo pojawią się znacznie bardziej klarowne świadectwa obserwacyjne, które pozwolą na dokonanie wyboru pomiędzy rywalizującymi ze sobą fantastycznymi teoriami, a być może doprowadzą nas do zupełnie nowej, nieznanej jeszcze teorii.

Próbując omówić te zagadnienia w zadowalający (ale nie nazbyt techniczny) sposób, natrafiłem w szczególności na jedną fundamentalną trudność. Jest to kwestia matematyki i kluczowej roli, jaką odgrywa ona w każdej teorii fizycznej, którą poważnie rozważa się jako potencjalny opis przyrody na fundamentalnym poziomie. Przedstawiane w tej książce argumenty krytyczne na rzecz tezy, że moda, wiara i fantazja rzeczywiście wpływają w nieodpowiedni sposób na rozwój fizyki fundamentalnej, muszą być przynajmniej do pewnego stopnia oparte na autentycznych merytorycznych zastrzeżeniach, a nie tylko na moich poglądach estetycznych – to zaś będzie wymagało poruszenia pewnych zaawansowanych zagadnień matematycznych. Niniejsza książka nie jest jednak zaplanowana jako monografia naukowa, dostępna wyłącznie dla ekspertów z dziedziny fizyki i matematyki; zdecydowanie chciałbym, aby mogli ją z korzyścią czytać również nie-eksperci. Aby zrealizować ten cel, będę się starał utrzymać czysto techniczne treści na poziomie rozsądnego minimum. Są jednak pewne zagadnienia matematyczne, których omówienie przyniosłoby wielką korzyść osobom chcącym w pełni zrozumieć rozmaite poruszane przeze mnie problemy. Na końcu książki zamieściłem więc w postaci aneksu jedenaście względnie prostych rozdziałów matematycznych, które nie są zbyt techniczne, ale które mogą, gdy pojawi się taka potrzeba, pomóc pełniej zrozumieć omawiane przeze mnie kwestie osobom nieposługującym się swobodnie matematyką.

Dwa pierwsze (§A.1 i §A.2) przedstawiają bardzo proste zagadnienia, choć dla wielu będą one pewnie nowe, i nie pojawia się tam żadna skomplikowana notacja matematyczna. Odgrywają one jednak szczególną rolę dla wielu przedstawionych w tej książce argumentów, zwłaszcza w odniesieniu do poszczególnych modnych teorii omawianych w rozdziale pierwszym. Czytelnicy, którzy chcieliby zrozumieć zasadnicze założenia mojej argumentacji przedstawionej w tym rozdziale, powinni na pewnym etapie zapoznać się z materiałem przedstawionym w §A.1 i §A.2, który stanowi jądro mojego argumentu przeciwko wprowadzaniu dodatkowych wymiarów przestrzennych do faktycznego opisu Wszechświata fizycznego. Tego typu „ponad-wymiarowość” jest zasadniczym punktem spornym w niemal całej współczesnej teorii strun i niektórych spokrewnionych z nią teoriach. Moja argumentacja wymierzona jest w głoszony współcześnie, motywowany teorią strun, pogląd, że liczba wymiarów przestrzeni fizycznej musi wynosić więcej niż trzy, czyli więcej niż tyle, ile doświadczamy bezpośrednio. Kluczowa podnoszona przeze mnie kwestia dotyczy swobody funkcjonalnej, a w §A.8 zarysowuję nieco precyzyjniej swoją argumentację na ten temat. Omawiane tam pojęcie matematyczne sięga swymi korzeniami prac wielkiego francuskiego matematyka Élie Cartana, a więc początku XX wieku, jednak spotyka się ono z niewielkim zainteresowaniem współczesnych fizyków teoretyków, pomimo tego, że ma wielkie znaczenie dla kwestii wiarygodności koncepcji dodatkowych wymiarów fizycznych.

Teoria strun i jej współczesne odmiany rozwinęły się znacząco pod wieloma względami od czasu, kiedy wygłosiłem wspomnianą wcześniej serię wykładów na Uniwersytecie Princeton, również na poziomie szczegółów technicznych. Nie twierdzę oczywiście, że w pełni zapoznałem się z wszystkimi tymi detalami technicznymi, choć z pewnością przyjrzałem się znaczącej liczbie tekstów na ten temat. Tym, co stanowi jądro mojej argumentacji, nie są jednak detale techniczne, lecz pytanie, czy tego typu prace naprawdę przybliżają nas ku zrozumieniu faktycznego świata fizycznego, w którym żyjemy. W szczególności dostrzegam niewiele (jeśli jakiekolwiek) starań, aby zmierzyć się z problemem nadmiernej swobody funkcjonalnej wynikającej z zakładanej ponad-wymiarowości przestrzennej. Prawdę mówiąc, żadna praca na temat teorii strun, z którą miałem do czynienia, nie wspomina o tym problemie. Uważam, że jest to dość zaskakujące, nie tylko dlatego, że kwestia ta stanowiła zasadniczy temat pierwszego z moich trzech wygłoszonych w Princeton wykładów sprzed dziesięciu lat. Temat ten pojawił się już wcześniej w trakcie wykładu, który wygłosiłem na konferencji na Uniwersytecie Cambridge z okazji 60. urodzin Stephena Hawkinga w styczniu 2002 roku, mówiąc do publiczności, wśród której znajdowało się między innymi kilku wiodących teoretyków strun; wykład ten został również opracowany w formie pisemnej.

Chciałbym w tym miejscu poczynić ważne zastrzeżenie. Kwestia swobody funkcjonalnej jest często odrzucana przez fizyków kwantowych jako mająca zastosowanie wyłącznie w ramach fizyki klasycznej, zaś trudności, jakie z niej wynikają dla teorii ponad-wymiarowych, pośpiesznie oddala się argumentem, że kwestie te są bez znaczenia w kontekstach kwantowo-mechanicznych. W §1.10, do przeczytania którego szczególnie zachęcam osoby głoszące konieczność wprowadzania do fizyki dodatkowych wymiarów przestrzennych, przedstawiam swój główny argument przeciwko takiemu rozumowaniu. Mam nadzieję, że powtarzając tu swoją argumentację, oraz rozwijając ją dla pewnych konkretnych przypadków fizycznych (§1.10, §1.11, §2.11 i §A.11), zachęcę w ten sposób moich kolegów, aby wzięli ją pod uwagę w przyszłości.

Pozostałe rozdziały aneksu pokrótce wprowadzają przestrzenie wektorowe, rozmaitości, wiązki, analizę harmoniczną, liczby zespolone oraz ich geometrię. Zagadnienia te są z pewnością dobrze znane ekspertom, jednak nie-eksperci mogą uznać tego typu zebrany w jednym miejscu materiał dodatkowy za pomocny przy próbach pełniejszego zrozumienia bardziej technicznych fragmentów tej książki. We wszystkich rozdziałach powstrzymałem się od wprowadzania większej liczby pojęć z zakresu rachunku różniczkowego i całkowego, ponieważ, choć odpowiednie zrozumienie tych zagadnień byłoby z korzyścią dla czytelników, osoby, które przystępując do lektury tej książki nie są jeszcze z nimi zapoznane, niewiele skorzystałyby na pośpiesznym wykładzie akurat tego działu matematyki. Mimo wszystko w §A.11 postanowiłem bardzo skrótowo poruszyć temat operatorów różniczkowych i równań różniczkowych, aby pomóc czytelnikom w zrozumieniu pewnych kwestii mających znaczenie dla zasadniczej linii argumentacyjnej przedstawionej w tej książce.