Natura czasu i przestrzeni ebook

Przedmowa

Debata Rogera Penrose’a ze Stephenem Hawkingiem była kulminacyjnym punktem sześciomiesięcznej sesji zorganizowanej w 1994 roku w Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences (Instytut Nauk Matematycznych im. Izaaka Newtona) na uniwersytecie w Cambridge. Była to poważna dyskusja na temat fundamentalnych koncepcji natury wszechświata. Nie muszę chyba dodawać, że daleko nam do poznania ostatecznego wyjaśnienia; wciąż wielu rzeczy nie rozumiemy i wciąż toczą się dyskusje na temat wielu ważnych problemów.

Mniej więcej dziewięćdziesiąt lat temu miała miejsce słynna debata Alberta Einsteina z Nielsem Bohrem o podstawach mechaniki kwantowej. Einstein nie uznał mechaniki kwantowej za teorię ostateczną; uważał, że jest ona błędna z powodów filozoficznych i toczył zaciętą walkę przeciw ortodoksyjnej interpretacji kopenhaskiej, której twórcą i przedstawicielem był Bohr.

W pewnym sensie debatę Penrose’a z Hawkingiem można uznać za kontynuację tamtego sporu. Penrose gra rolę Einsteina, Hawking Bohra. Współczesne problemy są bardziej złożone, ale, tak jak wtedy, można w dyskusji dostrzec kombinację argumentów naukowych i przekonań filozoficznych.

Mechanika kwantowa, lub jej bardziej wyrafinowana wersja — kwantowa teoria pola, jest obecnie w pełni rozwiniętą teorią fizyczną i ma na swoim koncie wiele sukcesów, choć filozoficzni sceptycy, tacy jak Roger Penrose, nie chcą jej zaakceptować. Ogólna teoria względności, czyli teoria grawitacji Einsteina równie dobrze zniosła upływ czasu i wiele wyjaśniła, choć pozostały do rozwiązania poważne problemy związane z osobliwościami i czarnymi dziurami.

Debatę Hawkinga z Penrose’em zdominowało pytanie, jak połączyć te dwie udane teorie, jak stworzyć „kwantową grawitację”. W tym celu trzeba pokonać jeszcze wiele trudności koncepcyjnych i technicznych, które są właśnie przedmiotem niniejszych wykładów.

Podstawowymi kwestiami są strzałka czasu, warunki początkowe w chwili powstania wszechświata i utrata informacji w czarnych dziurach. W tych sprawach — i wielu innych — Hawking i Penrose zajmują różne stanowiska, ale dzielące ich różnice są często bardzo subtelne. Podczas wykładów przedstawili oni swoje argumenty fizyczne i matematyczne, debata zaś pozwoliła na poważną, merytoryczną krytykę.

Choć część przedstawionego tu materiału wymaga znajomości fizyki i matematyki, wiele rozważań dotyczy zagadnień na wyższym (lub głębszym) poziomie i może zainteresować szersze grono czytelników. W każdym razie czytelnicy mogą zapoznać się z zakresem i subtelnością dyskutowanych koncepcji i zrozumieć, jak trudnym zadaniem jest skonstruowanie spójnej teorii wszechświata, która pogodziłaby mechanikę kwantową i teorię grawitacji.

Michael Atiyah

Podziękowania

Autorzy, wydawca i Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences serdecznie dziękują następującym osobom, które pomogły w zorganizowaniu wykładów i wydaniu książki: Matthiasowi R. Gaberdielowi, Simonowi Gillowi, Jonathanowi B. Rogersowi, Danielowi R.D. Scottowi i Paulowi A. Shahowi.

1. Teoria klasyczna

Stephen W. Hawking

W tych wykładach Roger Penrose i ja przedstawimy nasze pokrewne, lecz raczej odmienne poglądy na naturę czasu i przestrzeni. Będziemy mówić na zmianę, każdy wygłosi trzy wykłady, po czym odbędzie się dyskusja na temat dzielących nas różnic. Chciałbym podkreślić, że nie będą to wykłady popularne. Obaj zakładamy, że słuchacze znają podstawy ogólnej teorii względności i mechaniki kwantowej.

Richard Feynman napisał kiedyś krótki artykuł o swoich przeżyciach podczas konferencji na temat ogólnej teorii względności. Jeśli dobrze pamiętam, była to konferencja w Warszawie w 1962 roku. Feynman pisał bardzo niepochlebnie o kompetencjach zawodowych uczestników i wadze dyskutowanych problemów. Reputacja ogólnej teorii względności uległa zdecydowanej poprawie i jej problemy wzbudzają teraz dużo większe zainteresowanie, co jest w ogromnej mierze zasługą Rogera. Przedtem ogólną teorię względności przedstawiano w postaci skomplikowanego układu równań różniczkowych cząstkowych zapisanych w pojedynczym układzie współrzędnych. Ludzie byli tak szczęśliwi, gdy znaleźli jakieś rozwiązanie, że nie przejmowali się faktem, iż najprawdopodobniej nie ma ono żadnego znaczenia fizycznego. Natomiast Roger wprowadził do ogólnej teorii względności takie nowoczesne pojęcia, jak spinory i metody globalne. To on pierwszy zauważył, że można badać ogólne cechy rozwiązań, nie rozwiązując ściśle samych równań teorii. To jego pierwsze twierdzenie o osobliwościach sprawiło, że przystąpiłem do badania struktury przyczynowej czasoprzestrzeni i zainspirowało moje prace dotyczące klasycznej teorii osobliwości i czarnych dziur.

Myślę, że Roger i ja w zasadzie zgadzamy się w kwestiach fizyki klasycznej, różnią nas natomiast poglądy na kwantową grawitację i samą mechanikę kwantową. Choć fizycy cząstek elementarnych uważają mnie za niebezpiecznego radykała, gdyż wysunąłem hipotezę utraty kwantowej koherencji, w porównaniu z Rogerem z pewnością jestem konserwatystą. Uznaję pozytywistyczny pogląd, że fizyczna teoria jest tylko matematycznym modelem i że nie ma sensu pytać, czy odpowiada rzeczywistości. Jedyne, czego można żądać, to by przewidywania teorii zgadzały się z obserwacjami. Wydaje mi się, że w głębi serca Roger jest platonikiem, ale to musi on sam wyjaśnić.

Choć niektórzy fizycy wysuwali w przeszłości hipotezę, że czasoprzestrzeń ma strukturę dyskretną, na razie nie widzę powodu, abyśmy porzucali teorie ciągłej czasoprzestrzeni, które odniosły wiele sukcesów. Ogólna teoria względności jest bardzo piękną teorią i zgadza się ze wszystkimi znanymi obserwacjami. Być może okaże się, że trzeba ją zmodyfikować w skali Plancka, ale nie sądzę, aby takie zmiany wpłynęły na przewidywania, jakie można sformułować na jej podstawie. Być może ogólna teoria względności jest tylko niskoenergetycznym przybliżeniem pewnej teorii fundamentalnej, na przykład teorii strun, ale wydaje mi się, że teoria strun została przereklamowana. Po pierwsze, nie jest oczywiste, że ogólna teoria względności, w połączeniu z innymi polami w teorii supergrawitacji, nie daje sensownej teorii kwantowej. Relacje na temat śmierci supergrawitacji są bardzo przesadne. Jednego roku wszyscy wierzyli, że supergrawitacja jest skończona. Rok później moda się zmieniła i wszyscy zaczęli twierdzić, że supergrawitacja z pewnością prowadzi do rozbieżności, choć w rzeczywistości nikomu nie udało się znaleźć nawet jednego przykładu. Po drugie, nie rozważam tu teorii strun, gdyż nie doprowadziła ona do sformułowania żadnych sprawdzalnych przewidywań. Natomiast zastosowanie mechaniki kwantowej bezpośrednio do ogólnej teorii względności, o czym będę tutaj mówił, już doprowadziło do sformułowania dwóch sprawdzalnych przewidywań. Wydaje się, że pierwsze z nich, dotyczące powstania niewielkich zaburzeń w okresie inflacji, zostało potwierdzone przez niedawne obserwacje fluktuacji mikrofalowego promieniowania tła. Drugie, zgodnie z którym czarne dziury powinny emitować promieniowanie termiczne, jest w zasadzie sprawdzalne. Aby je przetestować, musimy tylko znaleźć pierwotną czarną dziurę. Niestety, wydaje się, że w naszym zakątku wszechświata nie ma ich zbyt wiele. Gdyby było inaczej, wiedzielibyśmy, jak skwantować grawitację.

Nawet jeśli teoria strun okaże się ostateczną teorią przyrody, i tak żadne z tych przewidywań nie ulegnie zmianie. Jednak na podstawie teorii strun, przynajmniej w jej obecnym stanie, nie można sformułować tych przewidywań w inny sposób, jak tylko korzystając z ogólnej teorii względności jako niskoenergetycznej teorii efektywnej. Podejrzewam, że tak może być zawsze i że nie ma żadnych obserwowalnych efektów przewidywanych przez teorię strun, których nie dałoby się również przewidzieć, korzystając z ogólnej teorii względności lub supergrawitacji. Jeśli to prawda, to pojawia się pytanie, czy teoria strun jest faktycznie teorią naukową. Czy matematyczne piękno i zupełność mogą zastąpić nadające się do obserwacyjnego sprawdzenia przewidywania charakterystyczne dla danej teorii? Bynajmniej nie chcę przez to powiedzieć, że teoria strun w obecnej postaci jest piękna lub zupełna.

Z tych powodów będę tu mówił o ogólnej teorii względności. Chcę skoncentrować się na dwóch dziedzinach, w których grawitacja wykazuje własności zupełnie odmienne niż inne teorie pola. Pierwsza z nich to idea, że wskutek działania grawitacji czasoprzestrzeń ma początek i, być może, również koniec. Druga, to odkrycie, że — jak się zdaje — istnieje wewnętrzna entropia grawitacyjna, która nie wynika z gruboziarnistego uśredniania, lecz jest immanentą cechą grawitacji. Niektórzy uczeni twierdzą, że te przewidywania są tylko artefaktami półklasycznego przybliżenia. Uważają oni, że teoria strun, prawdziwa kwantowa teoria grawitacji, wygładzi osobliwości i spowoduje powstanie korelacji w promieniowaniu czarnych dziur, dzięki którym okaże się ono termiczne tylko w przybliżeniu odpowiadającym gruboziarnistemu uśrednieniu. Jeśli okaże się, że mają rację, byłoby to raczej nudne rozwiązanie problemu, gdyż pole grawitacyjne nie różniłoby się niczym od innych pól. Ja jednak wierzę, że jest zdecydowanie inne, gdyż kształtuje arenę, na której działa, w przeciwieństwie do pozostałych pól działających w ustalonej czasoprzestrzeni. To właśnie sprawia, że czas może mieć początek. Również z tego powodu nie możemy obserwować pewnych obszarów wszechświata, co z kolei prowadzi do koncepcji entropii grawitacyjnej jako miary tego, czego nie możemy wiedzieć.

W tym wykładzie zamierzam dokonać przeglądu badań w ogólnej teorii względności, które doprowadziły do sformułowania tych koncepcji. W drugim i trzecim wykładzie (rozdziały 3 5) pokażę, jak przejście do teorii kwantowej zmienia i rozszerza wnioski wynikające z teorii klasycznej. W drugim wykładzie będę mówił o czarnych dziurach, a w trzecim o kwantowej kosmologii.

Kluczowa technika matematyczna służąca do poznania własności osobliwości i czarnych dziur polega na zbadaniu globalnej struktury przyczynowej czasoprzestrzeni. Metodę tę wprowadził Roger, ja zaś brałem udział w jej rozwinięciu.

Zdefiniujmy chronologiczną przyszłość İ+(p) punktu p jako zbiór wszystkich punktów czasoprzestrzeni M, do których można dotrzeć z p, poruszając się po skierowanej w przyszłość krzywej czasopodobnej (rys. 1.1). Można sobie wyobrazić I+(p) jako zbiór wszystkich zdarzeń, na które może mieć wpływ to, co zdarzyło się w p. Podobnie definiujemy I–(p), zastępując przyszłość przeszłością. Takie definicje będę uważał za oczywiste.

Rys. 1.1. Chronologiczna przyszłość punktu p.

Rozważmy teraz brzeg İ+(S) chronologicznej przyszłości zbioru S. Jak łatwo można się przekonać, brzeg nie może być czasopodobny. Gdyby tak było, punkt q, leżący tuż poza brzegiem, należałby do przyszłości punktu p, należącego do I+(S) i położonego tuż przy brzegu. Brzeg chronologicznej przyszłości nie może być również przestrzennopodobny, z wyjątkiem części należącej do samego zbioru S. Gdyby był, każda skierowana ku przeszłości krzywa wychodząca z punktu q, położonego tuż poza brzegiem w kierunku przyszłości, przechodziłaby przez brzeg i wychodziła z chronologicznej przyszłości S, to zaś jest sprzeczne z założeniem, że q należy do chronologicznej przyszłości S (rys. 1.2).

Rys. 1.2. Brzeg chronologiczny przyszłości nie może być ani czasopodobny, ani przestrzennopodobny.

Dochodzimy zatem do wniosku, że część brzegu chronologicznej przyszłości zbioru S, która nie należy do 5, jest zerowa. Mówiąc bardziej precyzyjnie, jeśli q należy do brzegu chronologicznej przyszłości S, ale nie należy do domknięcia S, to istnieje skierowany w przeszłość segment zerowej geodezyjnej, przechodzący przez q i należący do brzegu (rys. 1.3). Może istnieć więcej niż jeden segment zerowy przechodzący przez q i należący do brzegu, ale w takim przypadku q jest punktem końcowym w przyszłości tych segmentów. Inaczej mówiąc, brzeg chronologicznej przyszłości zbioru S jest generowany przez zerowe geodezyjne, które mają punkt końcowy należący do brzegu, a jeśli przecinają inny generator, to przechodzą do wnętrza przyszłości. Z drugiej strony, jeśli generatory zerowych geodezyjnych mają punkty końcowe w przeszłości, to należą one do zbioru S. Może jednak istnieć czasoprzestrzeń, w której pewne generatory brzegu chronologicznej przyszłości zbioru S nigdy nie przecinają. Takie generatory nie mają punktu końcowego w przeszłości.

Rys. 1.3. U góry: Punkt q należy do brzegu przyszłości, a zatem istnieje segment zerowej geodezyjnej należącej do brzegu, który przechodzi przez q.U dołu: Jeśli istnieje więcej niż jeden taki segment, to q jest ich punktem końcowym w przyszłości.

Prostym przykładem jest czasoprzestrzeń Minkowskiego, z której usunęliśmy poziomy segment krzywej (rys. 1.4). Jeśli zbiór S leży w przeszłości tej krzywej, rzuca ona cień i wobec tego punkty znajdujące się tuż nad krzywą (w jej przyszłości) nie należą do chronologicznej przyszłości S. Istnieje generator brzegu przyszłości S dochodzący do punktu końcowego usuniętego segmentu. Ponieważ punkt ten został usunięty z czasoprzestrzeni, to ten generator brzegu nie ma punktu końcowego w przeszłości. Czasoprzestrzeń jest niezupełna, ale można temu zaradzić, mnożąc metrykę przez odpowiedni czynnik konforemny w pobliżu końca usuniętej linii. Takie czasoprzestrzenie są bardzo sztuczne, ale mają duże znaczenie, gdyż przypominają o konieczności zachowania wielkiej ostrożności w badaniu struktury przyczynowej. Roger Penrose, który był członkiem komisji podczas mojego egzaminu doktorskiego, wskazał opisaną powyżej czasoprzestrzeń jako kontrprzykład dla jednego z twierdzeń zawartych w mojej rozprawie.

Rys. 1.4. Usunięcie linii z przestrzeni Minkowskiego sprawia, że brzeg przyszłości zbioru S ma generator bez punktu końcowego w przeszłość.

Aby wykazać, że każdy generator brzegu chronologicznej przyszłości pewnego zbioru ma punkt końcowy w przeszłości należący do tego zbioru, należy nałożyć na strukturę przyczynową czasoprzestrzeni pewien warunek globalny. Najsilniejszy i fizycznie najważniejszy jest warunek globalnej hiperboliczności. Mówimy, że otwarty zbiór U jest globalnie hiperboliczny, jeśli:

1. Dla każdej pary punktów p i q należących do U domknięcie części wspólnej chronologicznej przyszłości p przeszłości q jest zwarte. Inaczej mówiąc, jest to ograniczony obszar o kształcie rombu (rys. 1.5).

2. W zbiorze U jest spełniony warunek silnej przyczynowości. Oznacza to, że nie istnieją zamknięte lub niemal zamknięte krzywe czasopodobne zawarte w U.

Rys. 1.5. Część wspólna przeszłości p i przyszłości q ma zwarte ­domknięcia.

Globalna hiperboliczność ma duże znaczenie fizyczne, ponieważ wynika z niej, że w zbiorze U istnieje rodzina powierzchni Cauchy’ego Σ(t) (rys. 1.6). Powierzchnia Cauchy’ego dla U to przestrzennopodobna lub zerowa powierzchnia, która przecina każdą krzywą czasopodobną należącą do U raz i tylko raz. Dane na powierzchni Cauchy’ego wystarczają, aby przewidzieć zdarzenia w U; w zbiorze globalnie hiperbolicznym można również podać poprawnie sformułowaną kwantową teoriępola. Nie jest jasne natomiast, czy można sformułować sensowną kwantową teorię pola w obszarze czasoprzestrzeni, który nie jest globalnie hiperboliczny. Być może, z fizycznego punktu widzenia, globalna hiperboliczność jest warunkiem koniecznym. Uważam jednak, że nie należy zakładać spełnienia tego warunku, gdyż czyniąc to, możemy pominąć coś, co grawitacja chce nam powiedzieć. Zamiast tego należy raczej wykazać, że pewne obszary czasoprzestrzeni są globalnie hiperboliczne, wychodząc z innych, fizycznie przekonujących założeń.

Rys. 1.6. Rodzina powierzchni Cauchy’ego dla U.

Znaczenie globalnej hiperboliczności dla twierdzeń o osobliwościach wynika z następującego faktu. Niech U będzie zbiorem globalnie hiperbolicznym, a p i q to para punktów należących do U, które można połączyć krzywą czasopodobną lub zerową. Istnieje wtedy czasopodobna lub zerowa geodezyjna, przechodząca przez p i q, która ma większą długość niż wszystkie krzywe czasopodobne lub zerowe przechodzące przez te punkty — maksymalna geodezyjna (rys. 1.7). Dowód polega na wykazaniu, że w pewnej topologii przestrzeń wszystkich krzywych czasopodobnych i zerowych przechodzących przez pq jest zwarta. Następnie należy wykazać, że długość krzywej jest funkcją półciągłą z góry, określoną na tej przestrzeni. Wobec tego funkcja ta musi osiągać maksimum. Krzywa o maksymalnej długości jest geodezyjna, gdyż w przeciwnym wypadku niewielka deformacja zwiększyłaby jej długość.

Rys. 1.7. W przestrzeni globalnie hiperbolicznej dla każdej pary punktów, które można połączyć krzywą czasopodobną lub zerową, istnieje przechodząca przez te punkty maksymalna geodezyjna.

Teraz możemy rozważyć drugą wariację długości geodezyjnej γ. Jeśli w infinitezymalnym otoczeniu γ istnieje inna geodezyjna przechodząca przez p i ponownie przecinająca γ w punkcie r między punktami pq, to można wykazać, że niewielka deformacja γ daje dłuższą krzywą. Mówimy, że punkt r jest sprzężony z punktem p (rys. 1.8). Można to zilustrować przykładem dwóch punktów pq na powierzchni Ziemi. Bez utraty ogólności można przyjąć, że p to biegun północny. Ponieważ Ziemia ma metrykę dodatnio określoną, a nie lorentzowską, to geodezyjna łącząca q z p ma długość minimalną, a nie maksymalną. Tą minimalną geodezyjną jest południk wychodzący z bieguna północnego i przechodzący przez q. Istnieje jednak inna geodezyjna łącząca p z q, która wpierw przechodzi przez biegun południowy, po czym dociera do q. Ta geodezyjna zawiera punkt sprzężony z punktem p — jest nim biegun południowy, gdzie przecinają się wszystkie geodezyjne wychodzące z p. Długość obu geodezyjnych między punktami pq ma wartość stacjonarną ze względu na niewielkie wariacje. Jednak gdy metryka jest dodatnio określona, druga wariacja ­geodezyjnej zawierającej punkt sprzężony może dać krótszą krzywą z p do q. Wobec tego, w powyższym przykładzie, możemy stwierdzić, że krzywa geodezyjna wychodząca z bieguna północnego, przechodząca przez południowy i docierająca do punktu q nie jest najkrótszą krzywą łączącą p z q. W tym przykładzie jest to oczywiste. W przypadku czasoprzestrzeni można wykazać, że jeśli spełnione są pewne założenia, to musi istnieć globalnie hiperboliczny obszar, w którym każda krzywa geodezyjna łącząca dwa punkty zawiera punkt sprzężony. Sprzeczność ta wykazuje, że założenie geodezyjnej zupełności — które można uznać za definicję czasoprzestrzeni nieosobliwej — jest fałszywe.

Rys. 1.8. Po lewej: Jeśli między p i q na geodezyjnej leży punkt sprzężony r, to nie jest to minimalna geodezyjna. Po prawej: Nieminimalna geodezyjna z p do q ma punkt sprzężony na biegunie południowym.

W czasoprzestrzeni pojawiają się punkty sprzężone, gdyż siły grawitacyjne zawsze działają przyciągająco. Grawitacja zakrzywia czasoprzestrzeń w taki sposób, że sąsiadujące geodezyjne zbliżają się do siebie, a nie oddalają. Można się o tym przekonać na podstawie równania Raychaudhuriego lub Newmana-Penrose’a, które zapiszę w następującej, jednolitej formie:

Równanie Raychaudhuriego-Newmana-Penrose’a

Tutaj υ to parametr afiniczny wzdłuż kongruencji geodezyjnych, których wektory styczne la są ortogonalne do pewnej hiperpowierzchni. Skalar ekspansji ρ to średnia szybkość zbiegania się geodezyjnych, a σiy to tensor odkształceń. Wyraz Rablalb wyraża wpływ przyciągania grawitacyjnego materii na zbieganie się geodezyjnych.

Równanie Einsteina

Słaby warunek energetyczny

dla wszystkich czasopodobnych wektorów υa.

Z równania Einsteina wynika, że jeśli spełniony jest słaby warunek energetyczny, to wyraz Rablalb jest nieujemny dla każdego wektora zerowego la. Warunek ten oznacza, że składowa T00 jest nieujemna w każdym układzie odniesienia. Jest on spełniony przez klasyczny tensor energii pędu każdej sensownej materii, na przykład pola skalarnego lub elektromagnetycznego, lub cieczy z sensownym równaniem stanu. Warunek ten nie musi być spełniony lokalnie przez kwantową wartość oczekiwaną tensora energii pędu. Fakt ten będzie miał duże znaczenie w drugim i trzecim wykładzie (rozdziały 3 5).

Załóżmy, że spełniony jest słaby warunek energetyczny i że zerowe geodezyjne wychodzące z punktu p zaczynają się zbiegać, a ρ ma wartość dodatnią ρ0. Wtedy z równania Newmana-Penrose’a wynika, że skalar ekspansji ρ zmierza do nieskończoności w punkcie q, w odległości (mierzonej parametrem afmicznym) , jeśli zerową geodezyjną można przedłużyć tak daleko.

Wobec tego zerowe geodezyjne wychodzące z p i należące do otoczenia krzywej γ przecinają się w punkcie q. Oznacza to, że punkt q jest sprzężony z punktem p wzdłuż łączącej je zerowej geodezyjnej γ. W punktach położonych na zerowej geodezyjnej γ poza punktem sprzężonym q wariacja krzywej daje krzywą czasopodobną łączącą dany punkt z p. A więc po przekroczeniu punktu sprzężonego γ nie należy do brzegu chronologicznej przyszłości p. Oznacza to, że γ, jako generator brzegu chronologicznej przyszłości p, ma punkt końcowy w przyszłości (rys. 1.9).

Rys. 1.9. Punkt q jest sprzężony z p wzdłuż zerowej geodezyjnej, zatem zerowa geodezyjna γ łącząca p z q opuszcza brzeg przyszłości p w q.

Podobnie wygląda sytuacja z czasopodobnymi geodezyjnymi, ale w tym wypadku musimy przyjąć silny warunek energetyczny, który zapewnia, że wyraz Rablalb jest nieujemny dla każdego czasopodobnego wektora la. Warunek ten jest, jak sama nazwa wskazuje, silniejszy niż słaby warunek energetyczny, ale w ramach klasycznej teorii pozostaje fizycznie rozsądny, przynajmniej po odpowiednim uśrednieniu. Jeśli jest spełniony silny warunek energetyczny i czasopodobne geodezyjne wychodzące z p zaczynają się zbiegać, to istnieje punkt q sprzężony z punktem p.

Silny warunek energetyczny

Następnie mamy również typowy warunek enegetyczny. Stwierdza on, po pierwsze, że spełniony jest silny warunek energetyczny. Po drugie, że na każdej czasopodobnej lub zerowej geodezyjnej istnieje punkt, w którym krzywizna czasoprzestrzeni nie jest specjalnie ustawiona w stosunku do geodezyjnej. Warunek ten nie jest spełniony w wielu znanych ścisłych rozwiązaniach, które mają jednak dość wyjątkowy charakter. Należy oczekiwać, że jest on spełniony w „typowych” rozwiązaniach. Jeśli typowy warunek energetyczny jest spełniony, to każda geodezyjna napotyka obszar ogniskowania grawitacyjnego. Oznacza to, że jeśli geodezyjną można przedłużyć dostatecznie daleko w obu kierunkach, to istnieje na niej para punktów sprzężonych.

Typowy warunek energetyczny

1. Spełniony jest silny warunek energetyczny.

2. Każda czasopodobna lub zerowa geodezyjna zawiera punkt, w którym l[aRb]cd[elf]lcld≠ 0.

Zazwyczaj wyobrażamy sobie osobliwość jako obszar czasoprzestrzeni, w którym krzywizna staje się dowolnie duża. Kłopot z taką definicją polega na tym, że można wyciąć punkty osobliwe i twierdzić, że pozostała rozmaitość to cała czasoprzestrzeń. Dlatego lepiej zdefiniować czasoprzestrzeń jako maksymalną rozmaitość z dostatecznie gładką metryką. Wtedy o istnieniu osobliwości świadczą niezupełne geodezyjne, których nie można przedłużyć do dowolnie dużych wartości parametru afinicznego.

Definicja osobliwości

Czasoprzestrzeń jest osobliwa, jeśli zawiera czasopodobną lub zerową niezupełną geodezyjną i nie można jej rozszerzyć do większej czasoprzestrzeni.

Ta definicja odzwierciedla najbardziej problematyczną cechę osobliwości, a mianowicie fakt, iż istnieją cząstki, których historia zaczyna się lub kończy w określonej chwili. Istnieją przykłady czasoprzestrzeni geodezyjnie niezupełnych, w których krzywizna pozostaje ograniczona, ale można sądzić, że w typowych przypadkach, gdy poruszamy się wzdłuż niezupełnej geodezyjnej, krzywizna osiąga dowolnie dużą wielkość. Jest to bardzo ważne, jeśli chcemy odwołać się do efektów kwantowych w celu rozwiązania problemu osobliwości w klasycznej ogólnej teorii względności.

W latach 1965-1970 Roger Penrose i ja wykorzystaliśmy opisane powyżej metody, aby dowieść kilku twierdzeń o osobliwościach. W tych twierdzeniach przyjmuje się trzy rodzaje założeń. Po pierwsze, trzeba przyjąć pewien warunek energetyczny — słaby, silny lub typowy. Po drugie, trzeba nałożyć pewien globalny warunek na strukturę przyczynową, na przykład wykluczyć zamknięte (lub niemal zamknięte) krzywe czasopodobne. Po trzecie, konieczny jest warunek stwierdzający, że w pewnym obszarze przyciąganie grawitacyjne jest tak silne, że żadna cząstka nie może opuścić tego obszaru.

Twierdzenia o osobliwościach

1. Warunek energetyczny.

2. Warunek dotyczący globalnej struktury.

3. Grawitacja jest dostatecznie silna, aby istniał obszar złapany.

Trzeci warunek można wyrazić na wiele sposobów. Na przykład, jeśli przestrzenne cięcie wszechświata jest zamknięte, to nie istnieje żaden obszar zewnętrzny, do którego mogłyby uciec cząstki. Zamiast tego można założyć, że istnieje tak zwana zamknięta powierzchnia złapana. Jest to dwuwymiarowa powierzchnia zamknięta, taka że zerowe geodezyjne, ortogonalne do tej powierzchni, są zbieżne po obu jej stronach (rys. 1.10). Jeśli mamy dwuwymiarową sferę w czasoprzestrzeni Minkowskiego, to zerowe geodezyjne skierowane do wewnątrz są zbieżne, ale skierowane na zewnątrz oddalają się od siebie. Jednak gdy gwiazda zapada się, jej pole grawitacyjne może stać się tak silne, że stożki światła pochylają się do środka. To oznacza, że nawet skierowane na zewnątrz zerowe geodezyjne zbliżają się do siebie.

Rys. 1.10. Skierowane na zewnątrz promienie światła prostopadłe do normalnej powierzchni zamkniętej rozchodzą się, a skierowane do wewnątrz — zbiegają się. W przypadku zamkniętej powierzchni złapanej zbiegają się obie rodziny promieni.

Rozmaite twierdzenia o osobliwościach wykazują, że jeśli spełnione są różne kombinacje tych trzech warunków, to czasoprzestrzeń musi być geodezyjnie niezupełna (to znaczy zawiera przynajmniej jedną niezupełną czasopodobną lub zerową geodezyjną). Można osłabić jeden warunek, jednocześnie wzmacniając pozostałe dwa. Chciałbym to zilustrować na przykładzie tak zwanego twierdzenia Hawkinga-Penrose’a. W tym twierdzeniu przyjmuje się najsilniejszy z warunków energetycznych — typowy warunek energetyczny. Warunek globalny jest dość słaby — postuluje się tylko brak zamkniętych krzywych czasowych. Warunek „złapania” jest bardzo ogólny — zakłada się, że istnieje albo powierzchnia złapana, albo zamknięta, przestrzennopodobna trójwymiarowa hiperpowierzchnia.

Dla większej prostoty naszkicuję tylko dowód dla przypadku, gdy istnieje zamknięta, trójwymiarowa powierzchnia przestrzennopodobna S. Możemy zdefiniować przyszły obszar zależności D+(S) jako zbiór punktów q, takich że każda skierowana w przeszłość krzywa czasopodobna przechodząca przez ten punkt przecina powierzchnię S (rys. 1.11). Przyszły obszar zależności to region czasoprzestrzeni, który możemy określić, znając dane na powierzchni S. Załóżmy teraz, że przyszły obszar zależności jest zwarty. To oznacza, że obszar ten ma brzeg, zwany przyszłym horyzontem Cauchy’ego H+(S). Rozumując podobnie jak w przypadku brzegu chronologicznej przyszłości, można wykazać, iż horyzont Cauchy’ego jest generowany przez segmenty zerowych geodezyjnych bez punktów końcowych w przeszłości. Ponieważ założyliśmy, że przyszły obszar zależności jest zwarty, to zwarty jest również horyzont Cauchy’ego. To oznacza, że zerowe goedezyjne generujące horyzont należą do zbioru zwartego. Geodezyjne te dążą do granicznej zerowej geodezyjnej λ, która nie ma punktów końcowych należących do horyzontu Cauchy’ego ani w przyszłości, ani w przeszłości (rys. 1.12). Jeśli jednak λ jest geodezyjną zupełną, to z typowego warunku energetycznego wynika, że zawiera punkty sprzężone pq. Punkty należące do geodezyjnej λ, położone poza punktami sprzężonymi, można połączyć krzywą czasopodobną. To jest jednak niemożliwe, gdyż dwa punkty należące do horyzontu Cauchy’ego nie mogą być rozdzielone interwałem czasopodobnym. Wobec tego albo A nie jest zupełna i twierdzenie zostało udowodnione, albo przyszły obszar zależności nie jest zwarty.

Rys. 1.11. Przyszły obszar zależności D+(S) zbioru S i jego brzeg w przyszłości — horyzont Cauchy’ego H+(S).

Rys. 1.12. Istnieje graniczna zerowa geodezyjna λ, należąca do horyzontu Cauchy’ego i niemająca punktów końcowych w przeszłości i przyszłości należących do horyzontu.

W drugim przypadku można wykazać, że istnieje skierowana w przyszłość krzywa czasopodobna γ, która wychodzi z S i nigdy nie opuszcza obszaru przyszłej zależności S. W podobny sposób dowodzimy, że krzywą γ można przedłużyć w przeszłość tak, aby nigdy nie opuszczała przeszłego obszaru zależności D­–(S) (rys. 1.13). Teraz rozważmy ciąg punktów xn na krzywej γ dążący w przeszłość i podobny ciąg punktów yn dążący w przyszłość. Dla każdej liczby n para punktów xnyn leży w globalnie hiperbolicznym obszarze zależności S; punkty te są rozdzielone interwałem czasopodobnym. Wobec tego istnieje czasopodobna geodezyjna λn, łącząca te punkty i mająca maksymalną długość. Wszystkie geodezyjne λn przecinają zwartą, przestrzennopodobną powierzchnię S. Oznacza to, że istnieje graniczna, czasopodobna geodezyjna, należąca do obszaru zależności S, będąca granicą ciągu geodezyjnych λn (rys. 1.14). Albo geodezyjna ta jest niezupełna, i w tym przypadku twierdzenie jest wykazane, albo z uwagi na typowy warunek energetyczny zawiera ona punkty sprzężone. W drugim przypadku dla dostatecznie dużych n, również geodezyjne λn zawierają punkty sprzężone. To jest jednak niemożliwe, gdyż są to maksymalne geodezyjne. Dochodzimy zatem do wniosku, że czasoprzestrzeń zawiera czasopodobną lub zerową niezupełną geodezyjną. Inaczej mówiąc, czasoprzestrzeń jest osobliwa.

Rys. 1.13. Jeśli obszar przyszłej (przeszłej) zależności nie jest zwarty, to istnieje skierowana w przyszłość (przeszłość) czasopodobna krzywa, która nigdy nie opuszcza obszaru przyszłej (przeszłej) zależności.

Rys. 1.14. Geodezyjna λ będąca granicą ciągu λn musi być niezupełna, gdyż w przeciwnym przypadku istniałyby na niej punkty sprzężone.

Z twierdzeń o osobliwościach wynika, że pojawiają się one w sytuacjach dwojakiego rodzaju. Po pierwsze, osobliwości w przyszłości powstają wskutek grawitacyjnego zapadania się gwiazd lub innych masywnych ciał. Takie osobliwości stanowią koniec czasu, przynajmniej dla cząstek poruszających się po niezupełnych geodezyjnych. Po drugie, mamy osobliwość w przeszłości, która stanowi początek obecnej fazy ekspansji wszechświata. To doprowadziło do porzucenia prób wykazania (podejmowanych głównie przez fizyków rosyjskich), że w przeszłości wszechświat się kurczył, po czym nastąpiło nieosobliwe „odbicie” i zaczęła się faza ekspansji. Obecnie niemal wszyscy uważają, że wszechświat — a wraz z nim i czas — rozpoczął się od wielkiego wybuchu. To odkrycie jest dużo ważniejsze niż detekcja rozmaitych nietrwałych cząstek, ale nie doczekało się Nagrody Nobla.

Twierdzenia o osobliwościach oznaczają również, że klasyczna ogólna teoria względności nie jest teorią zupełną. Ponieważ punkty osobliwe należy wyciąć z rozmaitości czasoprzestrzeni, nie można tam określić równań pola, a tym samym nie można przewidzieć, co wyjdzie z osobliwości. Gdy osobliwość znajduje się w przeszłości, wydaje się, że jedynym możliwym rozwiązaniem jest odwołanie się do kwantowej teorii grawitacji. Wrócę do tego zagadnienia w trzecim wykładzie (rozdział 5). Natomiast można przypuszczać, że osobliwości w przyszłości zachowują się zgodnie ze sformułowaną przez Penrose’a ­hipotezą kosmicznego cenzora, to znaczy występują tylko w takich miejscach jak czarne dziury, gdzie nie może ich dostrzec żaden zewnętrzny obserwator. Wobec tego załamanie się przewidywalności spowodowane przez osobliwości nie ma wpływu na to, co dzieje się w świecie zewnętrznym, przynajmniej według teorii klasycznej. Jednak, jak wykażę w następnym wykładzie, nieprzewidywalność powraca w teorii kwantowej. Jest to związane z faktem, że pole grawitacyjne posiada immanentną entropię, która nie wynika z gruboziarnistego uśredniania. Grawitacyjna entropia oraz fakt, iż czas miał początek i może mieć koniec, stanowią dwa główne tematy moich wykładów, gdyż to one sprawiają, że grawitacja różni się od innych pól fizycznych.

Hipoteza kosmicznego cenzora

Natura brzydzi się gołymi osobliwościami.

Fakt, że istnieje pewna wielkość grawitacyjna, która zachowuje się jak entropia, został po raz pierwszy dostrzeżony w czysto klasycznej teorii. Zależy on od hipotezy kosmicznego cenzora Penrose’a, która wprawdzie nie została udowodniona, ale większość fizyków uważa, iż jest ona słuszna dla dostatecznie ogólnych danych początkowych i każdego rozsądnego równania stanu. Tu skorzystam z tak zwanej słabej hipotezy kosmicznego cenzora.

Można przyjąć, że obszar wokół zapadającej się gwiazdy jest w przybliżeniu asymptotycznie płaski. Wtedy, jak pokazał Penrose, można konforemnie odwzorować rozmaitość czasoprzestrzeni M na rozmaitość z brzegiem M- (rys. 1.15). Brzeg rozmaitości ∂M jest powierzchnią zerową i ma dwie składowe — zerową nieskończoność w przeszłości I– i przyszłości I+. Mówimy, że spełniona jest słaba hipoteza kosmicznego cenzora, jeśli zachodzą dwa warunki. Po pierwsze, zerowe generatory I+ są zupełne w pewnej metryce konforemnej. Z tego wynika, że obserwatorzy z dala od zapadającej się gwiazdy mogą dożyć późnej starości i nie grozi im nagła śmierć w osobliwości typu błyskawicy, wysłanej z gwiazdy. Po drugie, chronologiczna przeszłość I+ jest globalnie hiperboliczna. To z kolei oznacza, że nie ma żadnych gołych osobliwości, które można byłoby zobaczyć z dużej odległości. Penrose stosuje czasem również silną hipotezę kosmicznego cenzora, w której zakłada się, że cała czasoprzestrzeń jest globalnie hiperboliczna. Do moich rozważań wystarczy jednak słaba wersja tej hipotezy.

Rys. 1.15. Konforemne odwzorowanie czasoprzestrzeni zapadającej się gwiazdy ma rozmaitość z brzegiem.

Słaba hipoteza kosmicznego cenzora

1. I+ i I– są zupełne.

2. I–(I+) jest globalnie hiperboliczna.

Jeśli spełniona jest słaba hipoteza kosmicznego cenzora, to osobliwości, jakie muszą wystąpić podczas grawitacyjnego zapadania się gwiazd i innych obiektów, nie mogą być widoczne z I+. To oznacza, że musi istnieć pewien obszar czasoprzestrzeni, który nie należy do przeszłości I+. Obszar ten nazywamy czarną dziurą, ponieważ ani światło, ani żadne cząstki nie mogą go opuścić i uciec do nieskończoności. Brzeg czarnej dziury nazywamy horyzontem zdarzeń. Ponieważ horyzont zdarzeń jest również brzegiem przeszłości I+, to jest generowany przez segmenty zerowych geodezyjnych, które mogą mieć punkty końcowe w przeszłości, ale nie w przyszłości. Z tego z kolei wynika, że jeśli spełniona jest słaba hipoteza kosmicznego cenzora, to generatory horyzontu zdarzeń nie mogą się zbiegać, bo w przeciwnym wypadku przecięłyby się ze sobą w skończonej odległości.

Ten wniosek oznacza, że powierzchnia przecięcia horyzontu zdarzeń nigdy nie maleje i na ogół rośnie. Ponadto, jeśli dwie czarne dziury zderzają się ze sobą i łączą, to powierzchnia końcowej czarnej dziury jest większa niż suma powierzchni obu dziur przed zderzeniem (rys. 1.16). To bardzo przypomina zachowanie entropii, którym rządzi druga zasada termodynamiki. Entropia nigdy nie maleje i całkowita entropia dowolnego układu jest większa lub równa sumie entropii jego części.

Rys. 1.16. Gdy do czarnej dziury wpada materia lub dwie czarne dziury łącza się ze sobą, to całkowita powierzchnia horyzontu zdarzeń nigdy nie maleje.

Druga zasada mechaniki czarnych dziur

Druga zasada termodynamiki

Podobieństwo między mechaniką czarnych dziur i termodynamiką nie ogranicza się do drugiej zasady. Mamy również pierwszą zasadę mechaniki czarnych dziur, która wiąże zmiany masy czarnej dziury ze zmianą powierzchni horyzontu zdarzeń, momentu pędu i ładunku elektrycznego. Tę zasadę można porównać z pierwszą zasadą termodynamiki, która wiąże zmianę wewnętrznej energii układu ze zmianą jego entropii i wykonaną pracą.

Pierwsza zasada mechaniki czarnych dziur

Pierwsza zasada termodynamiki

Widzimy, że jeśli powierzchnia horyzontu zdarzeń jest analogiczna do entropii, to odpowiednikiem temperatury jest grawitacja powierzchniowa K czarnej dziury. Wielkość ta mierzy siłę pola grawitacyjnego na horyzoncie zdarzeń. Podobieństwo między mechaniką czarnych dziur i termodynamiką wzrasta jeszcze bardziej dzięki zerowej zasadzie mechaniki czarnych dziur: grawitacja powierzchniowa ma taką samą wartość na całej powierzchni horyzontu zdarzeń stacjonarnej czarnej dziury.

Zerowa zasada mechaniki czarnych dziur

κ ma taką samą wartość na całej powierzchni horyzontu stacjonarnej czarnej dziury.

Zerowa zasada termodynamiki

Temperatura T układu w równowadze termodynamicznej ma taką samą wartość w dowolnym punkcie tego układu.

Z uwagi na te analogie Bekenstein zaproponował, aby uznać powierzchnię horyzontu (pomnożoną przez pewien współczynnik) za miarę rzeczywistej entropii czarnej dziury. Wysunął też tezę, że należy uogólnić drugą zasadę: suma entropii czarnej dziury i materii na zewnątrz nigdy nie maleje.

Uogólniona druga zasada

Propozycja Bekensteina była jednak wewnętrznie sprzeczna. Jeśli czarna dziura ma entropię proporcjonalną do powierzchni horyzontu, to powinna również mieć temperaturę proporcjonalną do powierzchniowej grawitacji. Rozważmy czarną dziurę pozostającą w kontakcie z termicznym promieniowaniem mającym niższą temperaturę niż czarna dziura (rys. 1.17). Czarna dziura absorbuje energię, ale nie może jej oddać, gdyż zgodnie z klasyczną ogólną teorią względności nic nie może wydostać się z czarnej dziury. Wobec tego ciepło przepływa z termicznego promieniowania o niskiej temperaturze do czarnej dziury mającej wyższą temperaturę. To jest sprzeczne z uogólnioną drugą zasadą, ponieważ spadek entropii promieniowania byłby większy niż wzrost entropii czarnej dziury. Jednak, jak się przekonamy, sprzeczność ta zniknęła, gdy okazało się, że czarne dziury emitują termiczne promieniowanie. Ten wynik jest zbyt piękny, aby mógł mieć przybliżony lub przypadkowy charakter. Wydaje się zatem, że czarne dziury rzeczywiście mają immanentną entropię grawitacyjną. Jak pokażę w moim drugim wykładzie, związane jest to z faktem, iż czarna dziura ma nietrywialną topologię. Immanentna entropia oznacza, że grawitacja powoduje dodatkową nieprzewidywalność wykraczającą poza nieoznaczoność zazwyczaj wiązaną z mechaniką kwantową. Einstein nie miał racji, mówiąc, że „Bóg nie gra w kości”. Z teorii czarnych dziur wynika, że nie tylko gra w kości, ale czasem usiłuje nas zmylić, rzucając je tam, gdzie nie można ich zobaczyć (rys. 1.18).

Rys. 1.17. Czarna dziura będąca w kontakcie z termicznym promieniowaniem absorbuje energię, ale z punktu widzenia teorii klasycznej — nie może promieniować.

Rys. 1.18

 Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki