Osiem lekcji o nieskończoności. Matematyczna przygoda ebook

Tytuł oryginału

EIGHT LESSONS ON INFINITY

A Mathematical Adventure

Copyright © 2021 Haim Shapira

Translation rights arranged through

Vicki Satlow of The Agency srl

Projekt okładki

Paweł Panczakiewicz

Redaktor prowadzący

Adrian Markowski

Redakcja

Anna Kaniewska

Korekta

Małgorzata Denys

ISBN 978-83-8352-689-8

Warszawa 2024

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28

www.proszynski.pl

Dla Danieli, Tal i Inbal

PODZIĘKOWANIA

Na samym początku pragnę podziękować Etanowi Ilfeldowi za to, że uwierzył we mnie i moje książki.

Wyrażając uznanie dla jej pracy, dziękuję Lindzie Yechiel, mojej wiernej tłumaczce na język angielski.

Szczególne podziękowania kieruję pod adresem Alaina Dekkera za to, że nieustannie stawia przede mną nowe wyzwania, a także służy mi pomocą i wsparciem.

Dziękuję bardzo Tomowi Benhamou, specjaliście od teorii zbiorów, który z ogromnym wyczuciem redaguje moje książki i podsuwa wiele cennych pomysłów.

Chciałbym również podziękować redaktorowi prowadzącemu Slavowi Todorowi i wszystkim pracownikom wydawnictwa Watkins, którzy brali udział w powstawaniu tej książki.

Na koniec pragnę jeszcze wyrazić ogromną wdzięczność moim agentom Vicki Satlow i Zivowi Lewisowi.

WSTĘP

Gdyby przyszło mi rozpoczynać edukację od nowa, posłuchałbym rady Platona i zacząłbym od matematyki.

– Galileusz

Angielski biolog i intelektualista Richard Dawkins zauważył kiedyś, że nikt nie ma odwagi przyznać się do nieznajomości literatury i braku oczytania, ale mówienie o swojej całkowitej niewiedzy w kwestiach naukowych jest społecznie akceptowane, czego koronnym przykładem może być często spotykane, rozbrajająco szczere przyznawanie się do ignorancji w dziedzinie matematyki. Dawkins nie był pierwszym, który zwrócił na to uwagę – sam podkreśla, że tego typu trafne spostrzeżenia słyszy się już od bardzo dawna.

To oczywiście prawda. Nikt nie chwali się tym, że nie przeczytał w całym życiu ani jednej książki, nie widział żadnego dzieła sztuki ani że nigdy – ani razu – nie poruszył go jakiś utwór muzyczny. Jestem niemal pewny, że gdybyśmy przeprowadzili ankietę, nie znaleźlibyśmy ani jednej wykształconej osoby, która nie słyszała o Szekspirze, Rembrandcie czy Bachu. Prawdopodobnie też wszyscy znaliby postacie wielkich uczonych, takich jak Pitagoras, Isaac Newton i Albert Einstein. Ale ilu zapytanym osobom mówiłyby coś nazwiska takie jak Leonhard Euler, Srinivasa Ramanujan czy Georg Cantor?

Być może w tej chwili również ty, drogi czytelniku, zadajesz sobie pytanie: „Co takiego? Kim są ci ludzie? Pierwszy raz w życiu widzę ich nazwiska”.

To wielcy matematycy. Najwięksi z wielkich!

Bardzo interesuję się muzyką, literaturą i sztuką i jestem przekonany, że wzory matematyczne Ramanujana w niczym nie ustępują pod względem piękna strukturom muzycznym Bacha, a odkrycia Cantora dotyczące nieskończoności są w moim odczuciu równie cudowne jak dzieła Szekspira.

A skoro już porównujemy geniuszy kultury z geniuszami matematyki, to chciałbym zauważyć, że Cantor był ekspertem od Szekspira, a Einstein doskonale grał na fortepianie i skrzypcach. To bardzo często spotykane zjawisko i znam wielu matematyków, którzy świetnie znają się na literaturze, sztuce i muzyce. Prawdę mówiąc, niemiecki matematyk Karl Weierstrass powiedział kiedyś, że jeśli matematyk nie jest odrobinę poetą, to nigdy nie będzie dobrym naukowcem. Wydaje się jednak, że to zainteresowanie nie jest odwzajemnione: wielu literatów, muzyków i artystów przejawia prawdziwą awersję do matematyki.

Dlaczego tak jest? Dlaczego tak wiele osób, nawet świetnie wykształconych, odwraca się od misternych struktur i piękna – tak, piękna – które można znaleźć w świecie liczb i ich wzajemnych związków?

Być może głównym powodem takiego stanu rzeczy jest nieprzystępność matematyki i trudności, jakie piętrzą się przed tymi, którzy chcą poznać tę dziedzinę wiedzy. To prawda, że matematyka jest dość skomplikowana i trzeba poświęcić wiele czasu i wysiłku, by zrozumieć jej zawiłości, ale w życiu już tak jest, że czasem musimy zanurkować bardzo głęboko, by znaleźć perłę o wyjątkowej urodzie.

Pomysł napisania tej książki przyszedł mi do głowy pewnego dnia, gdy przeglądając swój księgozbiór matematyczny, zauważyłem, że większość tomów na półkach należy do jednej z dwóch kategorii:

Książki matematyczne napisane dla szerokiej publiczności. Niektóre z nich są wspaniałe, ale wszystkie skupiają się na opowieściach o matematyce, a nie na samej istocie tej dziedziny.

Książki matematyczne napisane dla matematyków. W tej grupie również można znaleźć dzieła wybitne, ale mogą je docenić (i naprawdę zrozumieć) jedynie znawcy tematu.

To naprowadziło mnie na myśl napisania książki, która znajdzie się w nowej, „trzeciej” kategorii. Postanowiłem wyjaśnić wszystkim zainteresowanym prosto i przejrzyście dwie najciekawsze moim zdaniem teorie matematyczne, teorię liczb i teorię zbiorów, które mają bliski związek z nieskończonością. Uświadomiłem sobie, że będzie to również świetna okazja do przedstawienia kilku strategii matematycznego myślenia, które pozwolą czytelnikom sprawdzić swoje siły w rozwiązywaniu naprawdę fascynujących problemów.

Zależy mi na tym, by książka sprawiła przyjemność każdemu, kogo interesują te zagadnienia i kto lubi od czasu do czasu trochę pomyśleć, dlatego zrezygnowałem z używania jakichkolwiek przerażających symboli matematycznych (nigdzie nie pojawiają się tu zapisy takie jak , , czy ). Stosuję tylko najbardziej podstawowe działania matematyczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie oraz kilka bardziej „zaawansowanych”, takich jak potęgowanie i pierwiastkowanie), co nie zwalnia jednak czytelników z konieczności głębokiego przemyślenia od czasu do czasu omawianych kwestii. Dołożyłem też wszelkich starań, by tekst był lekki w odbiorze, a nawet zabawny – nikt przecież w gruncie rzeczy nie lubi zadań o trzech kaczkach, które starają się napełnić basen w tym samym czasie, gdy dwie inne (z nikomu nieznanych powodów) próbują go opróżnić.

Wszelkie uwagi dotyczące książki, rozwiązania zadań i pytania do postawionych tu problemów można przesyłać na adres [email protected]. Życzę fascynującej podróży.

ROZGRZEWKA

KRÓTKIE WPROWADZENIE DO MYŚLENIA

Myślenie: rozmowa duszy samej ze sobą.

– Platon

Jeśli zadaliście sobie trud przeczytania wstępu (dlaczego tak wiele osób nigdy nie czyta wstępów?), to już wiecie, że mam pokaźny zbiór książek matematycznych. Jedną z moich ulubionych rozrywek jest rozmyślanie nad zawiłościami ciekawych zadań. No tak, oczywiście można się było tego po mnie spodziewać. Przecież tego się uczyłem. Ale wcale nie trzeba mieć wyższego wykształcenia matematycznego, by móc dostrzec i docenić wyjątkowe piękno matematyki. Na każdego, kto ma odrobinę cierpliwości i jest gotów chwilę się zastanowić, czekają tysiące ciekawych – i nierzadko słynnych – problemów i paradoksów matematycznych, które od stuleci sprawiają przyjemność zarówno młodym, jak i starym. Wystarczy odrobina wysiłku, by doświadczyć uczucia głębokiego zadowolenia po rozwiązaniu zadania, które na początku wydawało się bardzo złożone.

W tym rozdziale przedstawię skromny wybór moich ulubionych zadań matematycznych, od dość prostych przez nieco bardziej skomplikowane aż po całkowicie nierozwiązywalne (a jeśli jednak komuś uda się je rozwiązać, to może się spodziewać nagrody). Chciałbym, żeby zaprezentowane tu zagadki były przedsmakiem bogatej różnorodności interesujących łamigłówek, które czekają na was, drodzy czytelnicy, w zdumiewającym świecie matematyki.

Wielki mały przykład – jeden z otwartych problemów

Przed wielu laty przeczytałem nagrodzoną Pulitzerem książkę Gödel, Escher, Bach Douglasa R. Hofstadtera. Sam autor nazywa swoje dzieło „metaforyczną fugą na temat umysłu i maszyn, skomponowaną w duchu Lewisa Carrolla”. Porusza w nim wiele różnorodnych zagadnień dotyczących matematyki, muzyki, symetrii, sztucznej inteligencji i logiki, wplatając przy okazji w tekst niezliczoną wprost liczbę matematycznych zagadek. Chciałbym tu teraz przedstawić jedną z nich.

Weź dowolną liczbę – mam na myśli jakąkolwiek liczbę całkowitą. (Achilles, mitologiczny heros z problematyczną piętą, który jest jednym z bohaterów występujących w książce Hofstadtera, podał liczbę 15. Ty możesz oczywiście wybrać zupełnie inną, dowolną liczbę).

Teraz postępuj w następujący sposób: jeśli wybrana liczba jest parzysta, podziel ją przez 2. Jeśli jest nieparzysta, pomnóż ją przez 3 i dodaj 1. Powtarzaj tę procedurę tak długo, aż uzyskasz liczbę 1 (jeśli do niej dojdziesz). Przekonajmy się, jak to działa.

15 jest liczbą nieparzystą, więc mnożymy ją przez 3 i dodajemy 1.

15 × 3 + 1 daje 46.

46 jest liczbą parzystą, dzielimy ją więc przez dwa, otrzymując 23. To z kolei jest liczba nieparzysta, zatem mnożymy ją przez 3 i dodajemy 1.

23 × 3 + 1 = 70.

Kontynuujemy obliczenia:

70 / 2 = 35.

35 × 3 + 1 = 106.

106 / 2 = 53.

53 × 3 + 1 = 160.

160 / 2 = 80.

80 / 2 = 40.

40 / 2 = 20.

20 / 2 = 10.

10 / 2 = 5.

5 × 3 + 1 = 16.

16 / 2 = 8.

8 / 2 = 4.

4 / 2 = 2 i ostatecznie 2 / 2 = 1.

Procedura dobiegła końca.

W tym miejscu pojawia się pytanie, czy taki ciąg obliczeń zawsze skończy się na wartości 1 dla dowolnej liczby całkowitej.

Możesz sprawdzić samodzielnie, czy tak właśnie jest w przypadku kilku innych liczb. W zależności od wybranej wartości cała procedura może być dość długa i aby dotrzeć do jej końca, możesz potrzebować naprawdę dużej kartki papieru. Jeśli postanowisz napisać krótki program wykonujący te działania w komputerze, uważaj, bo może się okazać, że program będzie działał dłużej, niż się spodziewasz.

Hofstadter zasugerował Achillesowi, żeby wypróbował liczbę 27. Możesz zrobić to samo. Śmiało, poczekam kilka minut… no, może godzin.

Masz już dość? Gdy zaczynamy od liczby 27, wydaje się, że nasza procedura wydłuża się w nieskończoność, tworząc nadzwyczaj długi ciąg obliczeń. W pewnym momencie ogarnia nas przeświadczenie, że nigdy nie dojdziemy do końca. Okazuje się, że potrzeba aż 111 kroków, by osiągnąć wartość 1.

W swojej książce Hofstadter ostrzega Achillesa, by nie robił sobie zbyt dużej nadziei, że uda mu się znaleźć odpowiedź na postawione pytanie (czy każda liczba prowadzi do wartości 1?), ponieważ nad tym problemem, znanym jako „hipoteza Collatza”, zastanawiało się już wcześniej wielu matematyków. Hipoteza Collatza jest jednym z wielu „otwartych problemów” matematycznych. Problemami otwartymi nazywa się w matematyce pytania, na które nikomu nie udało się jeszcze znaleźć odpowiedzi. Hipoteza Collatza (na wszelki wypadek wyjaśniam, że „hipoteza” jest mniej więcej tym samym co „przypuszczenie”, a mówiąc ściślej, jest to „propozycja nowego możliwego twierdzenia, które wymaga udowodnienia”) głosi, że bez względu na to, od jakiej liczby zaczniemy, opisany powyżej proces zawsze doprowadzi w końcu do wartości 1. Hipoteza ta nosi nazwisko niemieckiego matematyka Lothara Collatza (1910–1990), który pierwszy przedstawił ją w 1937 roku. Czasami łączy się ją z innymi wybitnymi postaciami i bywa również nazywana hipotezą Ulama (od nazwiska polskiego matematyka Stanisława Ulama) lub problemem Kakutaniego (od japońskiego matematyka Shizuo Kakutaniego). Nierzadko też bywa nazywana po prostu hipotezą 3n + 1, co wydaje się jak najbardziej logiczne.

Gdy po raz pierwszy zetknąłem się z hipotezą 3n + 1, byłem zbyt młody, by docenić, jak duża głębia kryje się za tym pozornie prostym problemem. Byłem przekonany, że w ciągu kilku dni uda mi się przedstawić kryteria określające, które liczby prowadzą do wartości 1 w ostatnim kroku. Prawdę mówiąc, sądziłem, że uda mi się udowodnić, że hipoteza jest prawdziwa i wszystkie liczby wiodą ostatecznie do 1. Zaświtała mi też myśl, że skoro już się do tego zabrałem, to może przy okazji uda mi się wyznaczyć rozkład liczby kroków potrzebnych dla każdej określonej liczby (w przypadku liczby 15 potrzebowaliśmy na przykład 17 kroków). Jedynym, co mnie zdumiewało, był fakt, że nikt jeszcze przede mną nie rozstrzygnął tego problemu.

Potem jednak przekonałem się, że nie jest to takie proste…

Postawione tu pytanie najwyraźniej nie bez powodu uważane jest za „problem otwarty”.

Choć nie udało mi się znaleźć rozwiązania, zbytnio mnie to nie zmartwiło. Trudne pytania wydają mi się bardzo atrakcyjne. Zmuszają mnie do myślenia. Wolę zadania, których nie potrafię rozwiązać (a przynajmniej takie, których rozwiązanie nie przychodzi mi zbyt łatwo), od problemów, które udaje mi się rozwikłać w mgnieniu oka i bez większego wysiłku intelektualnego. Oczywiście nie oznacza to, że największą przyjemność sprawia mi porażka podczas rozwiązywania jakiegoś zadania – bez wątpienia o wiele większą satysfakcję czerpię z uporania się po długich zmaganiach z jakimś trudnym problemem.

Powróćmy jednak do naszej hipotezy. Sprawdźmy, co się w tym przypadku dzieje. Mamy problem matematyczny, w którym wykorzystuje się tylko podstawowe działania – dodawanie, mnożenie i dzielenie – a mimo to nikt na całym świecie nie potrafi podać jego rozwiązania!

Jak to możliwe? Wydawałoby się, że problem, który można wyrazić w tak prosty sposób, powinien mieć równie proste wyjaśnienie. No, cóż – to nieprawda! Nie każde proste pytanie ma prostą odpowiedź. W matematyce istnieje wiele pytań, które można zadać nawet małym dzieciom i one bez trudu zrozumieją postawione przed nimi wyzwanie, a mimo to nawet najbardziej utalentowanym dorosłym nie udało się do tej pory przedstawić ich rozwiązania.

Po przeanalizowaniu większej liczby przypadków problemu Collatza możemy zauważyć pewną prawidłowość polegającą na tym, że ostatnie liczby pojawiające się na samym końcu są kolejnymi malejącymi potęgami liczby 2. Jeśli na przykład zaczniemy od liczby 15, to pięć ostatnich liczb ciągu stanowią 16, 8, 4, 2 i, ostatecznie, 1.

Wyrażając tę prawidłowość w postaci reguły, możemy powiedzieć, że jeśli w którymkolwiek momencie obliczeń dojdziemy do liczby postaci 2n, to możemy mieć pewność, iż dotrzemy do wartości 1, wykonując dzielenie przez 2 dokładnie n razy. To pozwala nam sformułować hipotezę 3n + 1 w nieco inny sposób: czy prawdą jest, że jeśli wybierzemy na początku dowolną liczbę, to zawsze w którymś momencie dojdziemy do jakiejś potęgi 2?

Podejście polegające na zastąpieniu jednego problemu innym nazywamy redukcją. Jest to dość przydatne narzędzie matematyczne, które w pewnym sensie pozwala rozwiązywać zadania w nieco bardziej naturalny sposób. Inną, podobną strategią rozwiązywania zadań matematycznych jest „myślenie wspak” (od końca do początku) – zapewne wielu z nas stosowało tego typu podejście podczas rozwiązywania łamigłówek z labiryntami. Czasami, gdy szukamy drogi wyjścia z labiryntu, szybciej znajdziemy rozwiązanie, zaczynając od końca i podążając w kierunku początku.

Węgierski matematyk Paul Erdős (1913–1996) znany był z tego, że ustanawiał nagrody pieniężne za rozwiązanie otwartych problemów matematycznych, które go interesują. Najmniejszą kwotą, jaką zwykł oferować, było 25 dolarów. Hipoteza Collatza była według jego cennika warta 500 dolarów – taka suma oznaczała, że problem trafił do grona dość wartościowych pytań, mimo iż sam Erdős twierdził, że być może świat matematyki nie jest jeszcze gotów, by zmierzyć się z pytaniami tak trudnymi i zagmatwanymi jak hipoteza 3n + 1. Erdős niestety odszedł już z tego świata, ale nie ma powodów do obaw, ponieważ jego kolega Ron Graham ogłosił, że wypłaci ustanowione przez Erdősa nagrody. Jeśli uda wam się rozwiązać ten problem, możecie odebrać nagrodę na dwa sposoby – otrzymać czek podpisany przez Erdősa jeszcze przed śmiercią (co oznacza, że można go sobie oprawić w ramkę, ponieważ data jego spieniężenia już dawno minęła) lub poprosić o wystawienie czeku, który da się zrealizować (będziecie musieli więc rozstrzygnąć, czy ulec pokusie popełnienia grzechu dumy, czy chciwości).

(Korzystając z okazji, chciałbym zwrócić uwagę na pewien szczególnie interesujący fakt: że największa liczba, jakiej użyto do tej pory w dowodzie matematycznym, nosi imię tego właśnie Rona Grahama. Jest to tak duża liczba, że nie można jej zapisać za pomocą standardowej notacji matematycznej).

Człowiek mądry nie wie, czego nie wie, i wie, co wie. Głupi sądzi, że wie, czego nie wie, lub sam nie wie, co wie.

– Przysłowie chińskie

Liczba Erdősa

Paul Erdős był wyjątkowo płodnym matematykiem. (Książka The Man Who Loved Only Numbers [Człowiek, który kochał tylko liczby] Paula Hoffmana jest jego doskonałą biografią). Jest autorem ponad 1400 artykułów naukowych. Był entuzjastycznym zwolennikiem pracy zespołowej i w ciągu całego życia współpracował aż z 511 matematykami, z którymi napisał wiele prac. Każdy matematyk, który opublikował jakiś artykuł z samym Erdősem, otrzymywał prestiżowy tytuł „Erdős 1”. Ci, którzy współpracowali z osobami szczycącymi się tym tytułem, ale nigdy nie napisali niczego z samym Erdősem, otrzymywali tytuł „Erdős 2”. Kolejne liczby Erdősa, 3 i 4, przyznawano uczonym plasującym się na dalszych miejscach tego ciągu. Ogólna reguła jest następująca: jeśli napisałeś pracę z kimś, kto może się pochwalić liczbą Erdősa k, to twoja liczba Erdősa wynosi k + 1. Sam Erdős jako jeden jedyny na świecie mógł się szczycić tytułem „Erdős 0”. Na drugim końcu spektrum znajdują się osoby, które nigdy nie napisały artykułu z Erdősem ani z nikim innym, kto może się pochwalić skończoną wartością liczby Erdősa. Takie osoby mają nieskończoną liczbę Erdősa (Erdős ∞). Być może „nieskończona liczba Erdősa” brzmi dumnie – może nawet bardziej niż „Erdős 7” – ale znacząca część czytelników tej książki odkryje zapewne ze zdumieniem, że (podobnie jak większość ludzkości) może się posługiwać tytułem „Erdős ∞”. Ja sam nie piszę prac naukowych, ale kiedyś współpracowałem przy artykule z matematykiem chlubiącym się liczbą „Erdős 3”, a zatem, mimo że o to nie zabiegałem, mogę się posługiwać zaszczytnym tytułem „Erdős 4”.

Tak dochodzimy do popularnej gry salonowej znanej jako „Sześć stopni od Kevina Bacona”. Kevin Bacon, słynny amerykański aktor, stwierdził kiedyś, że każdy aktor hollywoodzki albo grał z nim w jakimś filmie (Bacon 1), albo grał z kimś, kto grał z nim (Bacon 2), albo grał z kimś, kto grał z kimś, kto… (Bacon 3, 4, …). Postawiono hipotezę, że liczba Bacona niemal każdego aktora hollywoodzkiego jest mniejsza lub równa sześć. Elvis Presley ma na przykład liczbę Bacona 2. Odkrycie łączącego ich związku zostawiam już czytelnikom1. Wygląda na to, że świat naprawdę jest mały, ponieważ istnieją osoby mogące się pochwalić zarówno liczbą Erdősa, jak i liczbą Bacona. Ron Graham ma na przykład liczbę Erdősa 1 i liczbę Bacona 2. Słynnej izraelskiej aktorce Natalie Portman przysługują natomiast tytuły „Erdős 5” i „Bacon 1” (zaskakujące, prawda?).

Pora powrócić do rozwiązania problemu Collatza. No cóż, nie znamy jego rozwiązania i prawdę mówiąc, mogę wymienić wiele innych, łatwiejszych sposobów na zarobienie pięciuset dolarów niż zmaganie się z hipotezą Collatza. Ale przecież nie będę nikomu mówił, co ma robić…

Zagadka z szachownicą

Długo się zastanawiałem, czy powinienem zamieścić tu tę następną zagadkę. Jest naprawdę bardzo prosta. Niemniej jednak po zażartej dyskusji z samym sobą postanowiłem ją opisać, ponieważ jest dość znana i zarówno sama zagadka, jak i jej rozwiązanie mają niewątpliwy urok.

Rozważmy siatkę o wymiarach 8 × 8.

Nietrudno zauważyć, że można ją bez problemów zapełnić 32 kamieniami domina o wymiarach 1 × 2. Usuńmy teraz po jednym kwadracie z dwóch przeciwległych rogów.

Czy taką siatkę można zapełnić, układając na niej 31 kamieni domina?

Większość moich znajomych, którym pokazałem tę zagadkę (nie byli to matematycy, ale wszyscy są bardzo mądrzy), była przekonana, że odpowiedź brzmi: „tak”, że wystarczy tylko chwilę się zastanowić, by wykonać tak postawione zadanie.

Okazuje się jednak, że poprawną odpowiedzią jest „nie”. Choćbyśmy się nie wiem jak starali, to w żaden sposób nie uda się nam ułożyć na siatce z usuniętymi przeciwległymi rogami 31 kamieni domina.

Jak widać, każdy kamień przykrywa jeden kwadrat biały i jeden czarny. Oznacza to, że 31 kamieni domina zakrywa dokładnie 31 białych i 31 czarnych kwadratów. Ponieważ oba kwadraty usunięte z siatki są tego samego koloru – oba są białe – nasza zmieniona plansza ma 30 białych kwadratów i 32 czarne. Zatem nigdy nie uda się na niej umieścić 31 kamieni domina.

Przed wielu laty, gdy studiowałem matematykę na Uniwersytecie w Tel Awiwie, prowadziłem dla „młodzieży zainteresowanej nauką” zajęcia zatytułowane „Paradoksy, zagadki i liczby”. Opisana tu przed chwilą zagadka była jedną z łamigłówek, które pokazywałem młodym adeptom nauki uczęszczającym na mój kurs. Przy tej okazji zawsze działo się coś ciekawego. Mimo przedstawienia dowodu wielu uczniów zarzekało się, że to niemożliwe, by nie dało się ułożyć na szachownicy z usuniętymi dwoma przeciwległymi rogami 31 kamieni domina. Co ciekawe, w tej grupie znajdowali się również ci, którzy, jak się z pozoru wydawało, doskonale zrozumieli wyjaśnienie. Niemniej jednak uparcie przestawiali kamienie domina, usiłując przykryć nimi szachownicę bez dwóch rogów. Nie próbowałem ich przekonywać, że to daremny trud – czasami człowiek musi się uczyć na własnych błędach.

Historia uczy nas, że ludzie i narody zachowują się mądrze, gdy tylko wyczerpią wszystkie inne możliwości.

– Abba Eban

Łamigłówka

Udowodnij, że jeśli usuniemy z dowolnego miejsca szachownicy dwa kwadraty o różnym kolorze, to zawsze będzie można przykryć wszystkie pozostałe kwadraty za pomocą 31 kamieni domina.

Nieskończona gra w kółko i krzyżyk

Gdy chodziłem do szkoły podstawowej w Wilnie na Litwie, gdzie się urodziłem, jednym z moich największych powodów do dumy było osiągnięcie mistrzostwa w rozgrywaniu podczas lekcji gier strategicznych na kartce papieru w taki sposób, by nauczyciele nas na tym nie przyłapali. Najbardziej lubiłem nieskończoną odmianę gry w kółko i krzyżyk. Niejeden raz interesująca rozgrywka uchroniła mnie przed potworną nudą na niektórych obowiązkowych lekcjach.

Wyjaśnijmy, jakie są reguły tej gry.

Bez wątpienia wszyscy doskonale wiedzą, jak wygląda tradycyjna odmiana gry w kółko i krzyżyk rozgrywana na siatce o wymiarach 3 × 3. Gra ta jest przeznaczona dla dzieci w wieku do sześciu lat. W przypadku starszych osób partia zawsze powinna zakończyć się remisem, jeśli tylko żaden z graczy nie przysypiał podczas rozgrywki. (Co jest bardzo możliwe, ponieważ taka gra jest dość nudna).

W nieskończonej odmianie rozgrywka toczy się na nieskończonej siatce i celem gry jest ułożenie w jednym ciągu pięciu krzyżyków lub pięciu kółek. Podobnie jak w tradycyjnym wariancie, kółka lub krzyżyki mogą być ułożone w jednym wierszu, kolumnie lub po przekątnej. Jeden z graczy stawia krzyżyki, a drugi kółka i umieszczają je na planszy na zmianę po jednym znaku. Zwycięża gracz, któremu pierwszemu uda się ułożyć w jednym ciągu pięć znaków.

a) Gracz stawiający kółka nie ma szans, by zablokować dwie „otwarte” trójki krzyżyków, i w związku z tym niedługo przegra.

b) Przykład innej rozgrywki, w której gracz grający krzyżykami właśnie wygrał partię.

Gdy „odkryłem” tę grę w szkole podstawowej, byłem przekonany, że sam ją wynalazłem, ale potem okazało się, że to nieprawda, ponieważ istnieje inna gra, nazywana „gomoku”, która jest bardzo podobna do nieskończonej odmiany kółka i krzyżyka. Gomoku jest szczególnie popularna w Japonii i Wietnamie. Słowo „go” oznacza po japońsku „pięć”.

Zapewne wiele osób słyszało o grze pod nazwą go. Choć jednak w gomoku bardzo często gra się na takiej samej planszy jak ta, która służy do prowadzenia rozgrywek w tej o wiele bardziej znanej grze, to jednak obie nie mają ze sobą nic wspólnego. Go jest starożytną chińską grą, o której wspomina nawet Konfucjusz w swoich dialogach. Ponieważ dotarła na Zachód za pośrednictwem Japonii, jest powszechnie znana pod swoją japońską nazwą, ale jak powiedziałem, go nie ma nic wspólnego z gomoku2.

Mimo doświadczenia, jakie zdobyłem, rozgrywając niezliczoną liczbę partii podczas nudnych lekcji – a czasami także na przerwie (choć nie było to już tak zabawne, bo nikt nie zakazywał nam grania na przerwie!) – nie potrafiłem stwierdzić, czy istnieje strategia gwarantująca zwycięstwo graczowi rozpoczynającemu rozgrywkę (stawiającemu tradycyjnie krzyżyki) bez względu na to, jak będzie grał przeciwnik, czy też gra zawsze zakończy się remisem, jeśli żaden z graczy nie popełni błędu (a raczej, mówiąc ściślej, chodzi o sytuację, w której gra nigdy się nie zakończy). Intuicja podpowiadała mi, że musi istnieć jakaś strategia zapewniająca wygraną graczowi rozpoczynającemu.

Muszę się w tym miejscu przyznać, że upłynęło już kilkadziesiąt lat od ostatniego razu, gdy grałem w nieskończoną odmianę kółka i krzyżyka. Przypomniałem sobie o tej grze podczas pisania książki, ale nadal ciekawi mnie strategiczny aspekt tej gry i chciałbym się dowiedzieć, czy istnieje strategia gwarantująca wygraną. Byłbym się nawet gotów założyć, że taka strategia musi istnieć. Kiedyś, gdy będę miał więcej wolnego czasu, spróbuję odkryć, jak mogłaby ona wyglądać, ale ponieważ nie zajmę się tym w najbliższej przyszłości, zachęcam wszystkich do spróbowania swoich sił w poszukiwaniu odpowiedzi na to pytanie i jeśli komuś uda się przedstawić strategię wygrywającą, uwolni mnie od konieczności zmagania się z tym problemem.

Mnich i zagadka3 – spojrzenie z dwóch końców

Pewnego ranka o wschodzie słońca stary buddyjski mnich zaczął się wspinać po stromej, krętej ścieżce prowadzącej do klasztoru na szczycie góry. Powoli, mozolnie podążał wąską drogą, jedyną, którą można było dojść do klasztoru. Wspinaczka bardzo go męczyła. Szedł nierównym krokiem, od czasu do czasu się zatrzymując, by złapać oddech, wyszeptać kilka mantr lub posilić się i wypić łyk wody. Na szczyt dotarł właśnie w chwili, gdy słońce zaczynało się chować za horyzontem. W klasztorze spędził kilka dni, opowiadając młodym mnichom o cnocie miłosierdzia, czterech szlachetnych prawdach, śunjacie (pustce), iluzji osobowości, samsarze i cierpieniu, karmie i wyzwoleniu od trosk, ośmiorakiej ścieżce i przemyśleniach Nagardźuny na temat pożądania i braku pożądania.

Gdy skończył nauczanie, wybrał się w drogę powrotną w dół góry, do swojej wioski. Wyruszył w dół o tej samej porze, o której kilka dni wcześniej wszedł na ścieżkę wiodącą na szczyt. Gdy opuszczał klasztor, pojawiły się pierwsze promienie wschodzącego słońca. W drodze powrotnej stary mnich szedł oczywiście o wiele szybciej niż wtedy, gdy wspinał się do klasztoru. Gdy dotarł do podnóża góry, pomyślał sobie, że gdzieś tam na ścieżce jest z pewnością pewien punkt, w którym znalazł się o tej samej porze dnia zarówno wtedy, gdy wchodził, jak i teraz, w drodze powrotnej.

Łamigłówka

W jaki sposób mnich doszedł do takiego wniosku? Jeśli zastanawiasz się nad tym dłużej niż dziesięć sekund, zerknij na dość oczywistą podpowiedź:

Dwaj mnisi wyruszają w drogę o wschodzie słońca, jeden zaczyna się wspinać ścieżką prowadzącą na szczyt góry, a drugi schodzi tą samą drogą wiodącą ze szczytu na dół. Nie ulega wątpliwości, że w którymś miejscu się ze sobą spotkają.

Matematyka tenisa – ile wynosi nieskończoność?

Wersja pierwsza

W 1953 roku angielski matematyk John E. Littlewood (1885–1977) przedstawił następujący problem, który jest obecnie znany jako paradoks Rossa–Littlewooda.

Przed wejściem do ogromnej, pustej sali ułożono nieskończenie długi rząd piłek tenisowych ponumerowanych 1, 2, 3, 4, … Zegar na ścianie pokazuje, że niedługo wybije północ. Trzydzieści sekund przed godziną 0.00 piłki z numerami 1 i 2 zostają wrzucone do sali, ale piłkę oznaczoną liczbą 1 od razu wyrzuca się z powrotem na zewnątrz. Piętnaście sekund (czyli jedną czwartą minuty) przed północą do sali zostają wrzucone piłki 3 i 4, a piłka z numerem dwa wylatuje z niej z powrotem na zewnątrz. Gdy zegar wskazuje jedną ósmą minuty przed północą, piłki 5 i 6 trafiają do sali, a piłka 3 zostaje z niej usunięta i tak dalej, i tak dalej. (Mówiąc językiem matematyki, powiedzielibyśmy, że minuty przed północą piłki 2n – 1 i 2n zostają umieszczone w sali, a piłka n wyrzucona na zewnątrz).

Pytanie brzmi: ile piłek będzie w sali, gdy wybije północ?

Wiele osób zmagało się z tym pytaniem i okazuje się, że są dwie możliwe odpowiedzi cieszące się niemal taką samą popularnością: nieskończoność i zero. Jak to możliwe? Przeanalizujmy rozumowanie prowadzące do każdego z tych wyników.

Nieskończoność: Na samym końcu w sali będzie nieskończenie wiele piłek, ponieważ liczba kroków jest nieskończona, a w każdym z nich do sali trafia jedna piłka (dwie piłki zostają umieszczone w sali, a jedna wylatuje na zewnątrz). Matematyk ująłby to następująco: dla każdej wartości n możemy wskazać dokładną chwilę, w której liczba piłek w sali wynosi n + 1. Zatem o północy w sali będzie nieskończenie wiele piłek.

Zero: O północy w sali nie będzie ani jednej piłki, ponieważ możemy wskazać dokładną chwilę, w której każda z piłek zostanie wyrzucona na zewnątrz. Piłka z numerem 1 zostaje usunięta w chwili, gdy zegar wskazuje pół minuty do północy, piłka 2 wylatuje na zewnątrz, gdy wskazówki zegara pokazują piętnaście sekund do północy i tak dalej. Wyrażając to bardziej matematycznym językiem, powiemy, że piłka n opuszcza salę w chwili, gdy zegar wskazuje minuty przed północą.

Gdybyśmy przeprowadzili ankietę, na które rozwiązanie oddalibyście swój głos?

Koniecznie musimy w tym miejscu podkreślić ważną kwestię – którą być może trudno jest sobie uzmysłowić – że przed północą mamy nieskończoną liczbę punktów, ponieważ zawsze możemy podzielić na pół czas, jaki jeszcze został do godziny 0.00.

Ja wskazałbym pierwszą odpowiedź jako „poprawną” i ośmieliłbym się nawet stwierdzić, że osoby preferujące drugie rozwiązanie prawdopodobnie nie mogą się wyzwolić ze schematów myślenia skończonymi pojęciami. Ich potrzeba, by wiedzieć, które piłki będą w sali „na końcu” całego procesu, jest w gruncie rzeczy podobna do potrzeby ustalenia, jakie liczby znajdują się „na końcu” ciągu liczb naturalnych, czyli „na końcu” ciągu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, 12 367, 12 368, …, …, …

Wszyscy wiemy i rozumiemy, że zbiór liczb naturalnych jest nieskończony i nikt nie może powiedzieć, które liczby znajdują się „na końcu” tego ciągu, z tego prostego powodu, iż nie ma on żadnego końca.

Co ciekawe, święty Augustyn (354–430) wierzył, iż Bóg widzi i zna całą nieskończoność liczb naturalnych wraz z ich wszystkimi własnościami i tym samym w pewnym sensie przekształca je w zbiór skończony (taki był oczywiście punkt widzenia świętego Augustyna).

Oto dwie inne odmiany paradoksu Rossa–Littlewooda.

Wersja druga

Jak poprzednio, mamy przed sobą nieskończony ciąg piłek tenisowych ponumerowanych 1, 2, 3, 4, …, które zostały ułożone przed wejściem do ogromnej, pustej sali. Pół minuty przed północą w sali zostają umieszczone piłki z numerami 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 10, ale piłkę oznaczoną liczbą 1 od razu wyrzuca się na zewnątrz. Ćwierć minuty przed północą do sali trafiają piłki 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 i 20, a na zewnątrz wylatuje piłka z numerem 2 i tak dalej.

Stawiamy oczywiście to samo pytanie: ile piłek będzie w sali o północy?

W tym przypadku w każdym kroku do sali trafia 10 piłek, a na zewnątrz zostaje wyrzucona tylko jedna, a więc w sumie liczba piłek powiększa się o dziewięć. Ponieważ powtarzamy taki krok nieskończoną liczbę razy, wydaje się zupełnie jasne, że o północy w sali będzie nieskończenie wiele piłek. (Można by nawet powiedzieć, że ich liczba będzie równa dziewięć razy nieskończoność!)

Łamigłówka

Czy możesz powiedzieć, które piłki będą w sali? Chodzi mi o to, czy potrafisz wskazać, jakie liczby będą widniały na piłkach znajdujących się w środku.

Wersja trzecia

Nadal mamy taki sam ciąg piłek ponumerowanych 1, 2, 3, 4, … i wciąż leżą one ułożone przed wejściem do wielkiej, pustej sali. Pół minuty przed północą wrzucamy do środka piłki 1 i 2, ale piłka z numerem 2 zostaje od razu wyrzucona na zewnątrz. Ćwierć minuty przed północą do środka trafiają piłki 3 i 4, a piłka 4 wylatuje na zewnątrz. I tak dalej. Stawiamy to samo pytanie: ile piłek będzie w sali, gdy wybije północ?

Nagle wszystko staje się oczywiste.

Ponieważ wyrzucamy na zewnątrz piłki oznaczone liczbami parzystymi, o północy w sali będzie się znajdowała nieskończona liczba piłek i na wszystkich będą widniały liczby nieparzyste. Zatem po wybiciu północy w sali będą piłki z numerami 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …

Jak wiadomo, istnieje nieskończenie wiele liczb nieparzystych i wszystkie będą wewnątrz sali. Liczby parzyste również tworzą zbiór nieskończony, ale one będą się znajdowały na zewnątrz.

Kolejna łamigłówka

Czy zbiory liczb nieparzystych i parzystych są mniejsze od zbioru wszystkich liczb naturalnych? (Liczbą naturalną nazywamy każdą dodatnią liczbę całkowitą).

W pierwszym odruchu korci nas, by stwierdzić, że faktycznie tak musi być. Wydaje się jak najbardziej sensowne, by na przykład zbiór liczb parzystych był o połowę mniejszy od zbioru liczb naturalnych (które przecież zawierają zarówno liczby parzyste, jak i nieparzyste).

Spójrzmy jednak na ten problem z innego punktu widzenia. Zauważmy, że kolejne liczby parzyste można połączyć w pary z kolejnymi liczbami naturalnymi.

1 2 3 4 …

2 4 6 8 …

W tej sytuacji musimy zmierzyć się z czymś, co nie mieści się nam w głowie: mimo iż zbiór liczb parzystych pomija co drugą liczbę (w porównaniu ze zbiorem liczb naturalnych), to oba zbiory zawierają tyle samo elementów. Mówimy, że oba zbiory mają taką samą moc. Pojęcie mocy zbioru pojawi się jeszcze wielokrotnie w dalszej części książki.

W ten sposób dochodzimy w zasadzie do jeszcze głębszego pytania: czy można w ogóle porównywać ze sobą nieskończone zbiory liczb i zastanawiać się, które z nich są większe? Czy określenia „większy” i „mniejszy” oraz „liczniejszy” i „mniej liczny” mają jakiś sens, gdy mówimy o wielkościach nieskończonych?

Jeśli chcesz się tego dowiedzieć, czytaj dalej!

Pojęcie nieskończoności jest złożone, bardzo głębokie i naprawdę trudne do zrozumienia. Warto w tym miejscu przytoczyć, co miał do powiedzenia na ten temat Galileusz:

Trudności związane z badaniem nieskończoności wynikają z tego, że w swoich skończonych umysłach próbujemy opisywać nieskończoność za pomocą tych samych własności, które charakteryzują rzeczy skończone i ograniczone; to jednak […] jest błędem, ponieważ nie można mówić o wielkościach nieskończonych, że są od siebie większe, mniejsze lub sobie równe.

– Galileusz

Choć darzę Galileusza dużym podziwem i szacunkiem, muszę powiedzieć, że na problem nieskończoności patrzę z większym optymizmem. W dalszej części książki zajmiemy się wielkościami nieskończonymi, mimo iż jesteśmy, niestety, na wskroś skończonymi istotami. Jak powiedział Pascal:

Człowiek jest tylko trzciną, najwątlejszą w przyrodzie, ale trzciną myślącą4.

– Blaise Pascal

Jeszcze jedno podejście do tej samej kwestii

Jeśli nadal trudno wam uwierzyć, że (we wszystkich tych wersjach) po wybiciu północy w sali będzie się znajdowała nieskończona liczba piłek, to muszę sięgnąć po broń ostateczną i przedstawić jeszcze jedną, rozstrzygającą wersję: wyobraźcie sobie, że piłki nie są ponumerowane, że są to zwyczajne białe piłki tenisowe.

To, czy piłki są numerowane, czy nie, nie może mieć żadnego wpływu na ich liczbę w sali po wybiciu północy.

Teraz wszystko powinno się stać oczywiste. Skoro w każdym kroku całkowita liczba piłek w sali ulega zwiększeniu, a liczba kroków, jakie wykonamy do północy, jest nieskończona, to o godzinie 0.00 w sali musi się znajdować nieskończona liczba piłek.

Teraz możemy też odpowiedzieć na pytanie, które piłki będą w środku sali.

W środku znajdziemy nieskończoną liczbę… białych piłek!5

Ta ostatnia wersja różni się wyraźnie od poprzednich, ponieważ nie mamy teraz żadnej możliwości wskazania, które konkretnie piłki zostają wyrzucone z sali. Gdy piłki są ponumerowane, znajdujemy się w uprzywilejowanej sytuacji polegającej na tym, że możemy zaproponować jakąś konkretną regułę. Teraz jednak, gdy piłki są nieodróżnialne, musimy losowo zdecydować, którą wyrzucimy.

Prima aprilis, czyli logika w domu Wielkiego Brata

Uznany logik, magik i matematyk Raymond Smullyan (1919–2017) (był również doskonałym pianistą – w serwisie YouTube można posłuchać, jak gra Bacha) wspominał kiedyś, jak po raz pierwszy zetknął się z pojęciem logiki. Wydarzyło się to pierwszego kwietnia, gdy Raymond był jeszcze małym chłopcem. Poprzedniego wieczoru starszy brat przyszłego logika ostrzegł go, że przygotował dla niego na jutro żart primaaprilisowy (zgodnie z uświęconym tradycją zwyczajem), i zapewnił, że choćby nie wiem jak się starał, nie uda mu się uniknąć wpadnięcia w zastawioną na niego pułapkę.

Raymond potraktował to ostrzeżenie bardzo poważnie i postanowił, że zrobi wszystko, by nie dać bratu powodu do satysfakcji z tego, iż udało mu się go nabrać. Po chwili namysłu doszedł do wniosku, że jeśli nie chce zostać ofiarą żartu, to powinien zaszyć się na cały dzień w swoim pokoju.

Sprytnie, prawda?

Raymond wszedł do swojego pokoju, zamknął za sobą drzwi i siedział, nudząc się, godzina po godzinie… aż do północy. Gdy tylko zegar wybił północ, wyszedł dumnie z pokoju i z satysfakcją w głosie oznajmił bratu, że jego plan zrobienia mu żartu zupełnie się nie udał.

– Mylisz się! – odpowiedział brat. – Udało mi się ciebie nabrać! Spodziewałeś się, że cię nabiorę, ale ostatecznie cię nie nabrałem, więc cię nabrałem! Ha, ha!

Do samej śmierci Raymond Smullyan nie miał pewności, czy jego brat rzeczywiście tego dnia zrobił mu kawał. A jak wy uważacie?

Czekolada i trucizna

Zagrajmy w dość prostą grę, znaną również pod nazwą Chomp. (Nieżyjący już amerykański matematyk David Gale wyjaśnił zasady tej abstrakcyjnej gry w nieco bardziej zrozumiały sposób, opisując ją jako zjadanie czekolady, a Martin Gardner nadał jej nazwę popularnego w Stanach Zjednoczonych batonika Chomp). Rozgrywka toczy się na planszy podzielonej na pola. Zasady są następujące:

Pierwszy gracz stawia w jednej z kratek krzyżyk.

W tym momencie wszystkie kratki położone na prawo i w górę od wybranego przez niego pola również zostają oznaczone krzyżykiem (zostają wyeliminowane). Na poniższym rysunku pierwszy postawiony krzyżyk jest pogrubiony:

Teraz ruch wykonuje drugi gracz, rysując w jednej z wolnych kratek znak kółka. W tym momencie wszystkie puste pola na prawo i w górę od zaznaczonej przez niego kratki również zostają oznaczone kółkiem (kółko postawione przez gracza jest na rysunku pogrubione):

W następnym kroku pierwszy gracz stawia kolejny krzyżyk, potem drugi gracz rysuje kółko i tak dalej, aż w końcu któryś z nich będzie musiał wybrać truciznę i umrzeć (oczywiście na niby).

Uwaga: ta gra jest uzależniająca!

Spróbuj zagrać na planszy o wymiarach 7 × 4 (7 wierszy i 4 kolumny lub odwrotnie).

Jeśli rozgrywka toczy się na planszy o jednakowej liczbie wierszy i kolumn, można zastosować strategię, która gwarantuje wygraną pierwszemu graczowi. Czy potrafisz opisać, jak wygląda taka strategia? Zastanów się nad tym przez trzy minuty.

Rozwiązanie

Pierwszy gracz musi wybrać kratkę położoną na przekątnej tuż nad trucizną:

Potem wystarczy, że będzie stawiał krzyżyki w polach położonych symetrycznie do kratek, w których drugi gracz stawia kółka:

* Pierwszy ruch przeciwnika

† Odpowiedź pierwszego gracza

Teraz powinno już być jasne, że pierwszy gracz musi wygrać.

Sprawy bardzo się komplikują, gdy rozgrywka toczy się na planszy o różnej liczbie wierszy i kolumn, ale w takiej sytuacji również można udowodnić, że istnieje strategia zapewniająca wygraną pierwszemu graczowi. Niestety, dowód ten nie podaje żadnego konkretnego opisu takiej procedury gwarantującej wygraną. Matematycy nazywają tego typu dowody „niekonstruktywnymi dowodami istnienia”.

Zakończmy tę lekcję ćwiczeniem:

Podaj strategię zapewniającą pierwszemu graczowi wygraną, gdy rozgrywka toczy się na prostokątnej planszy o wymiarach 2 × N (2 wiersze, N kolumn).

Wskazówka: aby uzyskać symetrię taką jak na planszy kwadratowej, musimy doprowadzić do sytuacji, w której zostanie już tylko kratka z trucizną lub pozostaną wolne jeszcze tylko dwie kratki znajdujące się bezpośrednio nad trucizną i na prawo od niej.

Teraz, po rozwiązaniu tego zadania (mam nadzieję, że się udało), zastanów się, co będzie w przypadku, gdy mamy dwa wiersze i nieskończoną liczbę kolumn. Kto w takiej sytuacji wygra? Nieskończoność łamie wszelkie prawa!

CIĄG DALSZY DOSTĘPNY W PEŁNEJ, PŁATNEJ WERSJI

PEŁNY SPIS TREŚCI:

PODZIĘKOWANIA

WSTĘP

ROZGRZEWKA. KRÓTKIE WPROWADZENIE DO MYŚLENIA

LEKCJA 1. WSPANIAŁY ŚWIAT LICZB PITAGORASA

LEKCJA 2. RAMANUJAN I KAMYKI PITAGORASA

LEKCJA 3. SEKRETNE ŻYCIE LICZB PIERWSZYCH

LEKCJA 4. WIELKIE ODKRYCIE PITAGORASA

LEKCJA 5. ŻÓŁW, ACHILLES I STRZAŁA – PARADOKSY ZENONA

LEKCJA 6. KRÓLESTWO NIESKOŃCZONOŚCI GEORGA CANTORA – TEORIA ZBIORÓW

LEKCJA 7. GRAND HOTEL HILBERTA

LEKCJA 8. MOC ZBIORU I POSKROMIENIE NIESKOŃCZONOŚCI

PODSUMOWANIE

LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA