Wprowadzenie do logiki ebook

Krzysztof Wieczorek

WPROWADZENIE DO

LOGIKI

Projekt okładki: Krzysztof Kozera

Redakcja:

Maciej Zweiffel

Skład i łamanie: Dariusz Ziach

© by Wydawnictwo Skrypt, Spółka z o.o.

Warszawa 2005

Wydawnictwo SKRYPT, Spółka z o.o.

00-844 Warszawa, ul. Grzybowska 77

tel. (22) 457 03 89, fax (22) 457 03 91

http://www.wydawnictwoskrypt.com.pl

e-mail: [email protected]

ISBN 83-89522-50-0

ZBIORY

Wstęp

5.1.1. Łyk teorii

relacje

Wstęp

6.1.1. Łyk teorii

ZADANIA

ROZWIĄZANIA ZADAŃ

WSTĘP

Celem tego podręcznika nie jest systematyczny wykład logiki. Książek takich jest już wystarczająco dużo, więc osoba głębiej zainteresowana tym przedmiotem na pewno nie będzie miała kłopotu ze znalezieniem czegoś odpowiedniego dla siebie. Niniejsza pozycja przeznaczona jest przede wszystkim dla tych, którzy pobieżnie zetknąwszy się z logiką, na przykład jako z przedmiotem wykładanym podczas krótkiego kursu na wyższej uczelni, z przerażeniem stwierdzili, że nic z tego nie rozumieją. Przyświeca mi cel pokazania takim osobom, że wbrew pozorom logika wcale nie jest taka trudna, jak by się to mogło początkowo wydawać, a jej nauka nie musi przypominać drogi przez mękę.

Większość tradycyjnych podręczników logiki najeżona jest technicznymi terminami, sucho brzmiącymi definicjami i twierdzeniami oraz skomplikowanymi wzorami. Brakuje im natomiast przykładów ilustrujących zawarty materiał teoretyczny i wyjaśniających bardziej złożone zagadnienia w sposób zrozumiały dla osób uważających się za „humanistów”, a nie „ścisłowców”. Sytuacja ta sprawia, że po zapoznaniu się z treścią takiego podręcznika lub po wysłuchaniu wykładu opracowanego na jego podstawie, adept logiki ma trudności z rozwiązaniem nawet bardzo prostych zadań umieszczanych na końcach rozdziałów albo w specjalnych zbiorach ćwiczeń z tego przedmiotu. Taki stan rzeczy przyprawia o mdłości i ból głowy zarówno wielu wykładowców logiki, zrozpaczonych rzekomą całkowitą niezdolnością do poprawnego myślenia okazywaną przez ich studentów, jak i tych ostatnich, zmuszonych do zaliczenia przedmiotu, z którego niemal nic nie rozumieją.

Doświadczenie zdobyte przeze mnie podczas lat nauczania logiki na różnych kierunkach uniwersyteckich wskazuje jednakże, iż najczęściej nieumiejętność rozwiązywania zadań z logiki nie jest wynikiem jakichkolwiek braków umysłowych studentów ani nawet ich lenistwa, ale po prostu przerażenia wywoływanego przez gąszcz niezrozumiałych dla nich wzorów, twierdzeń i definicji. Panika ta widoczna jest szczególnie u osób obdarzonych bardziej humanistycznym typem umysłowości, alergicznie reagujących na wszystko, co kojarzy im się z matematyką.

Można oczywiście ubolewać nad tym, że tak wielu młodych ludzi nie chce pokonać w sobie uprzedzeń do logiki i trzeba zmuszać ich „dla ich dobra” do przyswajania tej wiedzy w tradycyjnej formie. Czy ma to jednak większy sens? Da się oczywiście sprawić, że uczeń poświęci tydzień czasu przed egzaminem (często wspomagając się przy tym różnego rodzaju chemicznymi „środkami dopingującymi”) na pamięciowe wykucie kilkudziesięciu twierdzeń i praw, a następnie nauczy się ich mechanicznego stosowania. Nie zmieni to jednak faktu, iż student taki w dalszym ciągu nie będzie rozumiał istoty tego, co robi, ani jaki jest właściwie cel wykonywanych przez niego operacji.

Żyjemy obecnie w czasach, w których liczy się przede wszystkim szybkość i skuteczność działania. Większość ludzi nie ma czasu na zgłębiane teoretycznych podstaw jakiejś dziedziny - interesują ich przede wszystkim praktyczne umiejętności, sposób, w jaki teoria przejawia się w praktyce. Przykładowo użytkownik komputera nie musi znać zasad jego budowy ani języków pisania programów. Wystarczy mu, że potrafi kopiować pliki na dyskietkę, włączyć kilka ulubionych programów, wie, co zrobić, gdy komputer się zawiesi, a w razie większych komplikacji ma telefon do kogoś, kto zna się na tym lepiej. Również ucząc się obsługi potrzebnych programów, przeciętny człowiek nie musi korzystać ze specjalistycznych książek dla informatyków wyjaśniających wszelkie możliwe szczegóły techniczne. Wystarczy, że sięgnie on do popularnego podręcznika z serii „dla opornych”. Książki takie wiele spraw znacznie upraszczają, wiele trudnych problemów pomijają, ograniczając się do tego, co najważniejsze. Jeżeli jednak coś można ułatwić, przedstawić w sposób zrozumiały, nawet kosztem pewnej trywializacji, to dlaczego tego nie zrobić. Nie wszystko, co ważne, musi być od razu trudne i opisane technicznym językiem.

Z podobnym nastawieniem pisana jest niniejsza książka. Wiele spraw jest w niej uproszczonych. Starałem się posługiwać zrozumiałym językiem, unikając gdzie tylko się da technicznego żargonu. Może to sprawić, że przedstawiona w ten sposób logika wyda się komuś nadmiernie spłycona. Być może jest tak faktycznie, jednak, podkreślam to raz jeszcze, celem tego podręcznika nie jest systematyczny wykład logiki, ale przede wszystkim pomoc w opanowaniu tego przedmiotu dla tych, którym wydaje się on niemal całkowicie niezrozumiały. Gdy stwierdzą oni, że logika nie jest wcale tak trudna, jak im się to początkowo wydawało, sięgną być może po podręcznik głębiej traktujący temat.

Jednocześnie książka ta może stać się zachętą do zainteresowania się logiką przez osoby, które nigdy się z tym przedmiotem nie zetknęły. Korzystając z zawartych tu przykładów, czytając odpowiedzi na pytania zwykle zadawane przez początkujących, widząc często popełniane błędy, mogą one przyswoić sobie podstawy logiki samodzielnie, bez pomocy nauczyciela.

Semestralny kurs logiki na wielu uniwersyteckich kierunkach trwa zwykle 60 godzin lekcyjnych. Jednakże zdarzają się kursy ograniczone do 30, 15, a nawet 10 godzin. W takim czasie doprawdy trudno jest nauczyć kogoś logiki. Można co najwyżej pokazać zarys tego przedmiotu. Niniejsza książka powinna przynieść szczególne korzyści studentom uczestniczącym w takich skróconych, z różnych względów, kursach. Może ona im pomóc w zrozumieniu tego, na wyjaśnienie czego nie starczyło czasu na wykładach lub ćwiczeniach, a jednocześnie pokazać, jak należy rozwiązywać zadania spotykane często na egzaminach i kolokwiach.

Jak korzystać z książki?

Celem tej książki jest przede wszystkim wyrobienie u Ciebie, drogi Czytelniku, umiejętności rozwiązywania zadań spotykanych w standardowych podręcznikach do logiki. Najczęściej jednak rozwiązania przykładów wymagają pewnej podstawy teoretycznej. Potrzebna teoria, w formie bardzo okrojonej i uproszczonej, wprowadzana jest zwykle w początkowych partiach każdego rozdziału. Ponieważ, z uwagi na tę skrótowość, nie wszystko w części teoretycznej może wydać Ci się od razu zrozumiałe, proponuję przeczytanie tych paragrafów dwa razy: na początku dla zapoznania się z podstawowymi pojęciami, a następnie, po przejściu części praktycznej, w celu dokładniejszego zrozumienia i utrwalenia sobie materiału. Jestem przekonany, że po takim powtórnym przeczytaniu fragmentów teorii w pełni jasne staną się sprawy, które początkowo wydawały się nie do końca klarowne.

W części teoretycznej przedstawiane są tylko konieczne podstawy - tyle, aby można było przystąpić do rozwiązywania pierwszych zadań. Wiele dalszych problemów omawianych jest później - gdy pojawiają się przy okazji praktycznych zadań. Rozwiązując te zadania, zapoznajesz się, niejako mimochodem, z kolejnymi elementami teorii. Niektóre wiadomości teoretyczne zawarte są również w sekcjach Uwaga na błędy oraz Często zadawane pytania. Zawarte w książce przykłady uszeregowane są w kolejności od najprostszych do coraz trudniejszych. Umiejętności nabyte przy rozwiązywaniu jednych wykorzystywane są często w kolejnych zadaniach. Dobrane są one również w taki sposób, aby każdy z nich wskazywał jakiś inny problem techniczny lub teoretyczny.

Jeśli chcesz nauczyć się samodzielnego rozwiązywania zadań, nie powinieneś ograniczać się do śledzenia rozwiązań podanych przeze mnie krok po kroku. Doświadczenie wskazuje, że w takim momencie wydają się one banalnie proste; problemy pojawiają się jednak, gdy podobne rozwiązanie trzeba przedstawić samodzielnie. Dlatego po lekturze każdego działu spróbuj przepisać treść przykładów na osobną kartkę, rozwiąż je samodzielne i dopiero wtedy porównaj wynik z podręcznikiem. W wielu wypadkach zobaczysz wtedy, iż nawet w pozornie prostych przykładach bardzo łatwo popełnić błędy. Nie powinno to jednak powodować u nikogo większego niepokoju. Nic bowiem tak nie uczy, jak zrobienie błędu, dostrzeżenie go i następnie poprawienie. Tak więc - w dalszej perspektywie - popełnianie błędów w początkowej fazie nauki jest nawet korzystne.

Z uwagi na to, że książka ta składa się przede wszystkim z przykładów, może ona posłużyć jako swojego rodzaju zbiór zdań z logiki. Osoby lepiej znające ten przedmiot nie muszą czytać drobiazgowych omówień poszczególnych ćwiczeń, lecz od razu mogą przystąpić do ich samodzielnego rozwiązywania. Objaśnienia mogą się im przydać w sytuacjach, gdyby okazało się, że otrzymały w którymś miejscu nieprawidłowy wynik.

W niektórych miejscach tekstu tłustym drukiem wyróżnione zostały pojęcia szczególne istotne w nauce logiki. Znaczenie tych pojęć powinieneś sobie przyswoić i dobrze zapamiętać. Definicje tych wyrażeń i czasem dotyczące ich wyjaśnienia zawarte są również w znajdującym się na końcu książki słowniczku.

Rozdział IKLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ

WSTĘP

Klasyczny rachunek zdań (w skrócie KRZ) jest jednym z najprostszych systemów logiki formalnej. W praktyce może on służyć do sprawdzania poprawności wnioskowań, czyli takich procesów myślowych, podczas których na podstawie uznania za prawdziwe jednych zdań (przesłanek) dochodzimy do uznania kolejnego zdania (wniosku). Dzięki znajomości KRZ każdy może się łatwo przekonać, że na przykład z takich przesłanek, jak: Jeśli na imprezie był Zdzisiek i Wacek, to impreza się nie udała oraz Impreza udała się, można wywnioskować: Na imprezie nie było Zdziśka łub Wacka. Posługując się metodami KRZ, można również stwierdzić, iż nie rozumuje poprawne ten, kto z przesłanek: Jeśli Wacek dostał wypłatę to jest w barze lub u Zdziśka oraz Wacek jest w barze dochodzi do konkluzji: Wacek dostał wypłatę.

1.1. SCHEMATY ZDAŃ

1.1.1. ŁYK TEORII

Pierwszą czynnością, jaką należy przećwiczyć, rozpoczynając naukę klasycznego rachunku zdań, jest budowanie logicznych schematów zdań. Budowanie takich schematów przyrównać można do przekładu wyrażeń „normalnego” języka, jakim ludzie posługują się na co dzień, na język logiki, w którym logicy sprawdzają poprawność danego rozumowania.

Zdania wiązane przez spójniki logiczne nazywamy członami tych spójników. Człony równoważności niektórzy nazywają stronami równoważności, natomiast zdania wiązane przez implikację określamy najczęściej mianem poprzednika i następnika implikacji. Jak łatwo się domyślić, poprzednik to zdanie znajdujące się przed „strzałką” implikacji, a następnik - zdanie po niej.

Uwaga na błędy!

Częstym błędem popełnianym przez studentów jest nazywanie poprzednikiem i następnikiem zdań łączonych przez spójniki inne niż implikacja. Powtórzmy więc jeszcze raz: poprzednik i następnik występują wyłącznie przy implikacji.

Mianem negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji oraz równoważności określa się w logice nie tylko spójniki, ale również całe zdania przy ich pomocy tworzone. Na przykład wypowiedzenie Jeśli Agnieszka zobaczy Ryszarda w tym stanie, to będzie rozczarowana nazywamy zdaniem implikacyjnym lub po prostu implikacją; zdanie Ryszard wykazał się dużym sprytem lub po prostu dopisało mu szczęście nazywamy alternatywą itd.

Większość spójników (poza negacją) to tak zwane spójniki dwuargumentowe, co oznacza, że łączą one dwa zdania. Niekoniecznie muszą być to jednak zdania proste, równie dobrze mogą być to ujęte w nawiasy złożone wyrażenia. Na przykład w schemacie p v q członami alternatywy są zdania proste oznaczane przez p i q. Jednakże członami koniunkcji w wyrażeniu (p → q) ^ (r v s) są już wzięte w nawiasy zdania złożone: (p → q) oraz (r v s). Stronami równoważności w kolejnym schemacie są jeszcze dłuższe zdania (ujęte w nawias klamrowy i kwadratowy): {[p v (q → ~ r)] ^ s} ≡ [t → (w^ z)].

Wyrażenia łączone przez spójniki dwuargumentowe występują zawsze po obu stronach spójnika. Tak więc prawidłowe są zapisy: p → q, p ^ (q v r), natomiast nieprawidłowe: → p q, p (q v r) ^.

Uwaga na błędy!

W prawidłowo zapisanych schematach nie może nigdy zdarzyć się tak, aby występowały obok siebie dwie zmienne zdaniowe nie oddzielone spójnikiem (np. p → q r) lub dwa spójniki dwuargumentowe (czyli wszystkie oprócz negacji) nie oddzielone zmienną (np. p v^ q).

Negacja jest tak zwanym spójnikiem jednoargumentowym, co oznacza, że nie łączy ona dwóch zdań, lecz wiąże się tylko z jednym. Podobnie jak w przypadku innych spójników, nie musi być to zdanie proste, ale może być ujęta w nawias większa całość. W schemacie p negacja odnosi się do prostego zdania p, jednakże w [(p → q) ^ r] neguje ona całe wyrażenie ujęte w nawias kwadratowy.

Spójnik negacji zapisujemy zawsze przed wyrażeniem, do którego negacja się odnosi. Prawidłowy jest zatem zapis p, natomiast błędny p .

DO ZAPAMIĘTANIA

Poniższa tabelka pokazuje podstawowe znaczenia spójników logicznych oraz prawidłowy sposób, w jaki występują one w schematach:

1.1.2. PRAKTYKA: BUDOWANIE SCHEMATÓW ZDAŃ JĘZYKA NATURALNEGO

Jak już wiemy z teorii, schemat ma za zadanie pokazać położenie w zdaniu spójników logicznych. Dlatego pisanie schematu dobrze jest rozpocząć od wytropienia w zdaniu zwrotów odpowiadających poszczególnym spójnikom - nieprawda, że; i; lub; jeśli..., to; wtedy i tylko wtedy, gdy. Dla ułatwienia sobie dalszej pracy symbole spójników można wtedy zapisać nad tymi zwrotami. Całą resztę badanego wyrażenia stanowić będą łączone przez spójniki zdania proste, które będziemy zastępowali przez zmienne zdaniowe. Symbole tych zmiennych również możemy dla ułatwienia zapisać nad ich odpowiednikami.

Przykład:

W zdaniu tym znajdujemy jedno wyrażenie odpowiadające spójnikowi logicznemu - i, oraz dwa zdania proste - Leon czyści rewolwer oraz (Leon) obmyśla plan zemsty. W tym momencie z łatwością możemy już zapisać właściwy schemat całego zdania: p ^ q.

Niektórzy wykładowcy mogą wymagać, aby po napisaniu schematu objaśnić również, co oznaczają poszczególne zmienne zdaniowe. W takim wypadku piszemy:

p ^ q,

p - Leon czyści rewolwer, q - Leon obmyśla plan zemsty.

Przykład:

W przypadku implikacji, której składniki jeśli oraz to znajdują się w różnych miejscach zdania, strzałkę piszemy zawsze nad to. Schemat powyższego zdania to oczywiście p → q

p - Marian zostanie prezesem, q - Leszek straci pracę.

Uwaga na błędy!

Pisząc, co oznaczają poszczególne zmienne zdaniowe, nie piszemy już wyrażeń, które zastąpiliśmy spójnikami. Często spotykanym błędem w zadaniach takich jak powyższe jest napisanie, że p oznacza zdanie Jeśli Marian zostanie prezesem. Jednakże jeśli zostało już przecież zastąpione symbolem

Po nabraniu pewnej wprawy można zrezygnować z pisania symboli spójników i zmiennych zdaniowych nad wyrażeniem, którego schemat budujemy. Jednakże trzeba wtedy zachować szczególną ostrożność w przypadku dłuższych zdań - łatwo jest bowiem „zgubić” jakiś spójnik lub zmienną.

1.1.3. UTRUDNIENIA I PUŁAPKI

Czy to jest zdanie?

Często zdania łączone przez spójniki występują w „skróconej” postaci.

Przykład:

Wiesław zostanie ministrem kultury lub przemysłu ciężkiego.

W zdaniu tym wyrażenie przemysłu ciężkiego to oczywiście skrót zdania Wiesław zostanie ministrem przemysłu ciężkiego i w taki sposób należy je traktować. Tak więc poprawny schemat zdania wygląda: p vq,

p - Wiesław zostanie ministrem kultury, q - Wiesław zostanie ministrem przemysłu ciężkiego.

Uwaga na błędy!

Napisanie, że q oznacza przemysłu ciężkiego albo przemysł ciężki to duży błąd! Pamiętamy, że q to zmienna zdaniowa, a więc zastępuje ona zdanie. Wyrażania przemysł ciężki lub przemysłu ciężkiego zdaniami oczywiście nie są.

Czy to jest spójnik logiczny?

Wyrażenia odpowiadające spójnikom logicznym mogą występować w różnej postaci. Przykładowo spójnik alternatywy standardowo uznawany za odpowiadający słowu lub może się pojawić np. jako albo czy też bądź. Jeszcze gorzej jest z koniunkcją - może się ona pojawić w postaci m.in.: i, oraz, a także, a, lecz itd. Implikacji odpowiadają zwroty jeśli..., to, o ile..., to, gdyby..., to. Negacja to nieprawda, że; nie jest tak, że lub często po prostu samo nie. Najmniejszy kłopot jest z równoważnością - wtedy i tylko wtedy, gdy, ewentualnie zawsze i tylko wtedy, gdy. Zwroty te są jednak rzadko spotykane — nie używa ich raczej nikt inny poza matematykami i logikami.

Przykład:

Zygmunt jest filozofem, a Grzegorz biznesmenem.

p ^ q,

p - Zygmunt jest filozofem, q - Grzegorz jest biznesmenem.

Przykład:

Józef nie przyszedł na zebranie.

~ p,

p - Józef przyszedł na zebranie.

Przykład:

Albo Antoni jest ślepy, albo zakochany.

p v q,

p - Antoni jest ślepy, q - Antoni jest zakochany.

Zauważmy, że pomimo dwukrotnego pojawienia się słowa albo mamy tu do czynienia tylko z jedną alternatywą. Zapis v p v q nie mógłby się pojawić - nie jest on poprawnym wyrażeniem rachunku zdań.

DO ZAPAMIĘTANIA

Poniższa tabelka pomoże utrwalić sobie znaczenia i symbole poszczególnych spójników logicznych:

To nie jest spójnik!

Bywa, że w zdaniu pojawi się wyrażenie pozornie odpowiadające któremuś ze spójników logicznych, ale użyte w innym znaczeniu (nie jako spójnik zdaniowy). W takim wypadku oczywiście nie wolno go zastępować symbolem spójnika.

Przykład:

Stefan i Krystyna są małżeństwem.

W zdaniu tym występuje wyrażenie i, ale nie łączy ono zdań. Stefan w tym wypadku nie jest zdaniem ani też jego skrótem. Gdyby ktoś potraktował Stefan jako skrót zdania, otrzymałby bezsensowne wyrażenie: Stefan jest małżeństwem. Tak więc Stefan i Krystyna są małżeństwem to zdanie proste i jego schemat to tylko samo p.

Więcej spójników

Często w zdaniu występuje więcej niż jeden spójnik. W takim wypadku należy na ogół skorzystać z nawiasów. Nawiasy wskazują, które zdania w sposób naturalny łączą się ze sobą bliżej, tworząc swego rodzaju całość. Jednocześnie nawiasy pokazują, który ze spójników pełni rolę tak zwanego spójnika głównego, czyli spinającego całe zdanie, łączącego ostatecznie wszystkie jego części. W każdym zdaniu złożonym musi być taki spójnik.

Przykład:

Jeżeli przeczytam podręcznik lub będę chodził na wykłady, to bez trudu zdam egzamin.

Prawidłowy schemat tego zdania to:

(p v q) → r.

Nawiasy pokazują, że zdania oznaczone zmiennymi p oraz q tworzą pewną całość i dopiero wzięte razem stanowią poprzednik implikacji. Implikacja pełni w tym schemacie rolę spójnika głównego - łączy ona wyrażenie w nawiasie oraz zmienną r.

Gdyby ktoś postawił nawiasy w złym miejscu i głównym spójnikiem uczynił alternatywę, czyli schemat wyglądałby: p v (q → r), to byłby to schemat następującego zdania: Przeczytam podręcznik lub jeśli będę chodził na wykłady, to bez trudu zdam egzamin, a więc innego niż to, którego schemat mieliśmy napisać.

Przykład:

Nieprawda, że jeśli dopadnę drania, to od razu się z nim policzę.

Prawidłowy schemat to: ~ (p → q).

Nawiasy są konieczne, aby pokazać, iż negacja jest tu spójnikiem głównym i odnosi się do całej implikacji Jeśli dopadnę drania, to od razu się z nim policzę. Pozostawienie schematu bez nawiasów: ~ p → q, wskazywałoby, że negacja odnosi się tylko do prostego zdania p (głównym spójnikiem stałaby się wtedy implikacja), a więc byłby to schemat zdania Jeśli nie dopadnę drania, to od razu się z nim policzę.

Przykład:

Jeżeli skończę studia, to albo wyjadę za granicę, albo zostanę bezrobotnym.

Schemat tego zdania to: p → (q v r).

Treść tego zdania wyraźnie wskazuje, że głównym spójnikiem jest w nim implikacja. Alternatywa została oddana przy pomocy zwrotu albo..., albo.

Zauważmy, że gdyby zostało użyte słowo lub, mogłyby powstać wątpliwości, jaki spójnik pełni rolę głównego; wypowiadając zdanie Jeżeli skończę studia, to wyjadę za granicę lub zostanę bezrobotnym, ktoś mógł mieć bowiem na myśli alternatywę: istnieją dwie możliwości (1) wyjazdu za granicę w przypadku ukończenia studiów lub (2) zostania bezrobotnym (w domyśle - w przypadku nieukończenia studiów). Wtedy schemat wyglądałby (p → q) v r.

Uwaga na błędy!

Schemat, w którym nawiasy nie wskazują jednoznacznie głównego spójnika, jest wieloznaczny (dopuszcza różne możliwości interpretacji). Takie wieloznaczne wyrażenia (np. p → q v r lub p ^ q → r) noszą nazwę amfibolii. Napisanie schematu będącego amfibolią traktowane jest jako błąd.

UWAGA!

Autorzy niektórych podręczników wprowadzają różne konwencje pozwalające pomijać nawiasy. Zasady te stwierdzają na przykład, że zasięg implikacji jest większy od zasięgu koniunkcji, a więc schemat p → q ^ r należy domyślnie potraktować, jakby wyglądał on p → (q ^ r). Ponieważ jednak nie wszyscy takie konwencje stosują, nie będziemy ich tu wprowadzać. Jedynym wyjątkiem jest stosowana dotąd bez wyjaśnienia, jednakże intuicyjnie oczywista, zasada dotycząca negacji, mówiąca, że jeśli nie ma nawiasów, to negacja odnosi się tylko do zmiennej, przed którą się znajduje. Na przykład w wyrażeniu ~ p v q zanegowane jest tylko zdanie p; nie ma zatem potrzeby zapisywania schematu w formie: ~ (p) v q, choć nie byłoby to błędem.

Gdzie dać ten nawias?

Czasami mogą powstać wątpliwości, gdzie należy postawić nawias, nawet gdy zdanie, którego schemat piszemy, na pewno nie jest amfibolią.

Przykład:

Jeżeli spotkam Wojtka, to o ile nie będzie zbyt późno, to skoczymy na małe piwo.

W powyższym zdaniu mamy dwie implikacje (oddane przez jeżeli oraz o ile), łączące trzy zdania (w tym jedno zanegowane): p → ~ q → r. W schemacie takim musimy jednak przy pomocy nawiasów określić, która z implikacji stanowi główny spójnik zdania - czy schemat ma wyglądać: (p → q) → r, czy też p → ( q → r). Aby ten problem rozwiązać, przyjrzyjmy się bliżej naszemu zdaniu. Mówi ono, co się wydarzy, jeżeli spotkam Wojtka, a więc poprzednikiem głównej implikacji jest zdanie proste. Natomiast następnikiem sformułowanego w tym zdaniu warunku jest pewna implikacja: O ile nie będzie zbyt późno, to skoczymy na małe piwo. Tak więc mamy do czynienia z implikacją prowadzącą od zdania prostego do kolejnej implikacji, czyli prawidłowy jest schemat: p → ( q → r).

To, że ten właśnie schemat jest właściwy, nie dla wszystkich może od razu być jasne. Jeśli ktoś nie jest o tym przekonany, niech spróbuje wypowiedzieć zdanie oparte na schemacie (p → ~ q) → r, wstawiając odpowiednie zdania proste za zmienne. Wyszłoby wtedy coś w rodzaju: Jeżeli, jeśli spotkam Wojtka, to nie będzie zbyt późno, to skoczymy na małe piwo.

Więcej nawiasów

Czasem w zdaniu musi występować większa ilość nawiasów. Wskazują one niejako hierarchię wyrażeń.

Przykład:

Nie jest prawdą, że jeśli skończę studia i prestiżowy kurs językowy, to znajdę dobrze płatną pracę.

Poprawny schemat tego zdania to: ~ [(p ^ q) → r].

Nawias kwadratowy wskazuje, że negacja odnosi się do całego zdania złożonego i pełni rolę spójnika głównego. Natomiast nawias okrągły pokazuje, iż zdania p oraz q dopiero wzięte razem stanowią poprzednik implikacji.

Uwaga na błędy!

Pominięcie w powyższym przykładzie nawiasu kwadratowego: ~ (p ^q) → r sprawiłoby, że negacja odnosiłaby się jedynie do wyrażenia (p ^q); zdanie z implikacją jako głównym spójnikiem musiałoby brzmieć wtedy: Jeżeli nie ukończę studiów i prestiżowego kursu językowego, to znajdę dobrze płatną pracę. Natomiast pominięcie nawiasu okrągłego: ~ [p ^ q → r], sprawiłoby, że wyrażenie w nawiasie kwadratowym stałoby się amfibolią.

Przykład:

Jeżeli wybory wygra lewica, to znów wzrosną podatki i spadnie tempo rozwoju gospodarczego, ale jeśli wygra prawica lub tak zwana centroprawica, to powstanie bardzo słaby rząd i albo będziemy przez cztery lata świadkami gorszących skandali, albo za rok będą nowe wybory.

Schemat tego zdania to: [p → (q ^ r)] ^ {(s v t) → [ u ^ (w v z)]}.

Głównym spójnikiem zdania jest koniunkcja oddana przy pomocy słowa ale. Napisanie schematu pierwszego członu koniunkcji nie powinno sprawić nikomu większych trudności. Większej uwagi wymaga schemat wyrażenia ujętego w nawias klamrowy. Głównym spójnikiem tej części jest implikacja - zdanie to mówi bowiem, co się wydarzy, jeśli nastąpi warunek ujęty symbolicznie jako s v t. Gdy się to stanie, to, po pierwsze, będziemy mieli do czynienia z sytuacją opisaną przez zdanie u, a po drugie, z alternatywą w v z. Zarówno u, jak i (w v z) są więc, wzięte razem, następnikiem głównej implikacji.

Gdyby ktoś, błędnie, napisał schemat części w nawiasie klamrowym w sposób: {[(s v t) → u ] ^ (w v z)}, wskazywałoby to, że następnikiem implikacji jest tylko zdanie u, natomiast alternatywa w v z stanowi osobną całość, niezależną od warunku s v t. Analizowane zdanie stwierdza jednak coś innego.

To samo zdanie - ta sama zmienna

Czasem pewne zdanie proste pojawia się w kilkakrotnie w różnych miejscach zdania złożonego. W takich wypadkach należy wszędzie to zdanie zastąpić tą samą zmienną.

Przykład:

Jeśli Tadeusz zdąży na autobus, to przyjdzie, lub gdyby nie zdążył na autobus, to przełożymy nasze spotkanie.

(p → q) v (~ p → r),

p - Tadeusz zdąży na autobus, q - Tadeusz przyjdzie, r - Przełożymy nasze spotkanie.

Następnik przed poprzednikiem?

Czasami, na przykład ze względów stylistycznych, w zdaniu języka naturalnego mającego postać implikacji następnik występuje przed poprzednikiem implikacji. Przy pisaniu schematu należy tę kolejność odwrócić.

Przykład:

Populski przegra wybory, jeśli będzie uczciwy wobec konkurentów i nie będzie obiecywał gruszek na wierzbie.

Wprawdzie w zdaniu tym Populski przegra wybory pojawia się na samym początku, jest to jednak ewidentnie następnik implikacji. Prawidłowy schemat zatem wygląda następująco: (p ^ ~ q) → r,

p - Populski będzie uczciwy wobec konkurentów, q - Populski będzie obiecywał gruszki na wierzbie, r - Populski przegra wybory.

Ponieważ w implikacji w powyższym przykładzie nie występuje słowo to, dodatkową trudność może zrodzić kwestia postawienia strzałki w odpowiednim miejscu nad zdaniem -jeśli ktoś koniecznie chce to zrobić. W takim wypadku najlepiej postawić ją po zakończeniu całego zdania lub przed jego rozpoczęciem. Można też, przed napisaniem schematu, przeformułować zdanie w ten sposób, że poprzednik i następnik znajdą się na właściwych miejscach: Jeżeli Populski będzie uczciwy wobec konkurentów i nie będzie obiecywał gruszek na wierzbie, to przegra wybory.

Warto zapamiętać!

Wątpliwości, co w danym przypadku jest poprzednikiem, a co następnikiem, rozwiać może użyteczna wskazówka, że poprzednikiem jest każdorazowo to, co znajduje się bezpośrednio po słowie jeśli (jeżeli, o ile, gdy itp.). Następnik natomiast może znajdować się albo po poprzedniku oddzielony słowem to, albo na samym początku zdania, gdy to nie jest obecne.

1.1.4. CZĘSTO ZADAWANE PYTANIA

Czy pojedynczy symbol zmiennej zdaniowej, na przykład samo p, to już jest schemat zdania?

Tak, schemat nie musi koniecznie zawierać spójników logicznych. Jeżeli w zdaniu nie ma wyrażeń odpowiadających spójnikom, to schemat takiego zdania składa się tylko z jednej zmiennej.

Czy zmienne w schemacie zdania muszą występować w kolejności p, q, r, s, t... itd.?

Nie, nie jest to konieczne. Wprawdzie przyjęło się jako pierwszą zmienną obierać p, a potem q, ale nie jest błędem rozpoczęcie schematu na przykład od r. Jest to co najwyżej mniej eleganckie rozwiązanie.

Czy w każdym schemacie musi być spójnik główny?

Tak, jeśli oczywiście schemat nie składa się jedynie z pojedynczej zmiennej. Schemat, w którym nawiasy nie pokazują, który ze spójników jest główny, jest nieprawidłowy, ponieważ nie wiadomo, jak go należy odczytać. Przykładowo p^ q → r można by odczytać p i jeśli q tor(gdyby głównym spójnikiem była koniunkcja) albo też jeśli p i q tor (gdyby głównym spójnikiem miała być implikacja).

Co więcej, jeśli mamy do czynienia z formułą o znacznym stopniu złożoności, swoje spójniki główne muszą posiadać wszystkie ujęte w nawiasy zdania składowe. Na przykład w schemacie {[p → (q ^ r)] v s} ≡ ~ [(s v t) ^ z] głównym spójnikiem jest równoważność; kolejne miejsce w hierarchii spójników zajmują alternatywa (główny spójnik lewej strony równoważności) oraz negacja (główny spójnik prawej strony równoważności). Następnie głównym spójnikiem wyrażenia w kwadratowym nawiasie z lewej strony jest implikacja, a w zanegowanym wyrażeniu w kwadratowym nawiasie z prawej strony - koniunkcja. Pominięcie któregokolwiek z nawiasów uniemożliwiłoby określenie tych spójników.

Czy da się napisać schemat każdego zdania?

Tak, jeśli oczywiście jest to zdanie oznajmujące (bo tylko takie interesują nas w logice). Należy jednak pamiętać, że jeśli w zdaniu nie ma wyrażeń odpowiadających spójnikom logicznym, to schematem tego zdanie będzie tylko p, choćby zdanie było bardzo długie.

Czy błędem jest „uproszczenie” sobie schematu poprzez pominięcie jakiegoś spójnika? Na przykład zapisanie schematu zdania „Jeśli spotkam Wojtka łub Mateusza, to pójdziemy na piwo”, jako p →q, gdzie p zostanie potraktowane jako „spotkam Wojtka łub Mateusza zamiast (p v q) → r?

Nie jest to błąd w ścisłym tego słowa znaczeniu. Czasem faktycznie, z różnych względów, pisze się takie uproszczone schematy. Tym niemniej na ogół, gdy w zadaniu należy napisać schemat zdania, rozumiany jest pod tym pojęciem tak zwany schemat główny, czyli zawierający wszystkie spójniki możliwe do wyróżnienia w zdaniu. Tak więc zapisanie schematu uproszczonego może zostać potraktowane jako błąd.

1.2. TABELKI ZERO-JEDYNKOWE I ICH ZASTOSOWANIE

1.2.1. ŁYK TEORII

Tak zwane tabelki zero-jedynkowe służą do określania prawdziwości lub fałszywości zdań zawierających spójniki logiczne. Prawdę lub fałsz nazywamy wartością logiczną zdania. W notacji logicznej symbol 0 oznacza zdanie fałszywe, natomiast 1 zdanie prawdziwe. Wartość logiczną zdania prostego zapisujemy zwykle pod (lub nad) odpowiadającą mu zmienną, wartość logiczną zdania złożonego zapisujemy pod głównym spójnikiem tego zdania.

Tabelka dla negacji ukazuje dość oczywistą prawidłowość, że negacja zmienia wartość logiczną zdania.

Gdy weźmiemy dowolne zdanie fałszywe (oznaczone - 0) i następnie zanegujemy je, to otrzymamy zdanie prawdziwe (oznaczone 1). Na przykład: Gdańsk jest stolicą Polski - fałsz, Gdańsk nie jest stolicą Polski - prawda. Natomiast poprzedzenie negacją zdania prawdziwego czyni z niego zdanie fałszywe. Na przykład: Baraków leży nad Wisłą - prawda, Kraków nie leży nad Wisłą - fałsz.

Tabelka dla koniunkcji pokazuje, że gdy przynajmniej jeden z członów tworzących koniunkcję jest fałszywy, to całe zdanie złożone też jest fałszywe. Aby zdanie było prawdziwe, prawdziwe muszą być oba człony koniunkcji.

Przykładowo gdy ktoś stwierdza: W tym roku byłem w Afryce i Australii, a my skądinąd wiemy, że nie był on ani w Afryce, ani w Australii (oba człony koniunkcji fałszywe - pierwszy rząd w tabeli), to oczywiście całą wypowiedź należy uznać za fałszywą. Podobnie, gdyby okazało się, że wypowiadający zdanie był tylko w jednym z wymienionych miejsc (drugi i trzeci rząd w tabeli - jeden człon koniunkcji prawdziwy, a drugi fałszywy), to cała wypowiedź w dalszym ciągu pozostaje fałszywa. Dopiero w przypadku prawdziwości obu członów koniunkcji (ostatni wiersz tabeli) całe zdanie złożone należy uznać za prawdziwe.

Tabelka dla alternatywy pokazuje, iż jest ona zdaniem fałszywym tylko w jednym przypadku - gdy oba jej człony są fałszywe. Gdy przynajmniej jeden człon jest zdaniem prawdziwym - prawdziwa jest również cała alternatywa.

Gdy w prognozie pogody słyszymy, że będzie padał deszcz lub śnieg, tymczasem następnego dnia nie będzie ani deszczu, ani śniegu (czyli oba człony alternatywy okażą się zdaniami fałszywymi), to całą prognozę należy uznać za fałszywą. Gdy jednak spadnie sam deszcz (pierwszy człon prawdziwy), sam śnieg (drugi człon prawdziwy) lub też i śnieg, i deszcz (oba człony alternatywy prawdziwe), zdanie Będzie padał deszcz łub śnieg okazuje się prawdziwe.

Uwaga na margines

Jeżeli ktoś ma wątpliwości co do ostatniego wiersza tabelki dla alternatywy, to są to wątpliwości całkowicie uzasadnione. Tabelka ta ilustruje bowiem tylko jedno ze znaczeń, w jakim alternatywa jest używana. Znaczenie to można opisać zwrotem przynajmniej jedno z dwojga czy też jedno lub drugie lub oba naraz - jest to tak zwana alternatywa nierozłączna. W języku potocznym alternatywy używamy też często w znaczeniu dokładnie jedno z dwojga; albo tylko jedno, albo tylko drugie (alternatywa rozłączna). W takim rozumieniu alternatywy w ostatnim wierszu tabelki powinno pojawić się zero. W niektórych systemach logicznych oba znaczenia alternatywy są starannie rozróżniane (jest to szczególne istotne dla prawników) i oddawane przy pomocy różnych symboli (najczęściej ┴ dla alternatywy rozłącznej).

Z tabelki dla implikacji możemy dowiedzieć się, że zdanie, którego głównym spójnikiem jest jeśli..., to, może być fałszywe tylko w jednym wypadku, gdy mianowicie jego poprzednik jest prawdziwy, natomiast następnik fałszywy.

Jako przykładem ilustrującym tabelkę dla implikacji posłużymy się zdaniem wypowiedzianym przez ojca do dziecka: Jeśli zdasz egzamin, to dostaniesz komputer. Gdy następnie dziecko nie zdaje egzaminu i komputera nie dostaje (pierwszy wiersz tabeli - poprzednik i następnik implikacji fałszywe) lub gdy zdaje egzamin i dostaje komputer (ostatni wiersz tabeli - poprzednik i następnik implikacji prawdziwe), to nie powinno być wątpliwości, że obietnica ojca okazała się prawdziwa. Gdy natomiast dziecko zdaje egzamin, a jednak komputera nie dostaje (trzeci wiersz tabeli - poprzednik implikacji prawdziwy, a następnik fałszywy), należy wówczas uznać, że ojciec skłamał, składając swoją obietnicę.

Pewne kontrowersje może budzić uznanie za prawdziwe zdania w przypadku, gdy poprzednik implikacji jest fałszywy, natomiast następnik prawdziwy (drugi wiersz tabeli), czyli w naszym przykładzie, gdy dziecko wprawdzie nie zdało egzaminu, a mimo to dostało komputer. Zauważmy jednak, że wbrew pozorom ojciec nie łamie wcale w takim przypadku obietnicy dania komputera po zdanym egzaminie - nie powiedział on bowiem, że jest to jedyny przypadek, gdy dziecko może otrzymać komputer. Stwierdzenie Jeśli zdasz egzamin, to dostaniesz komputer nie wyklucza wcale, że dziecko może również dostać komputer z innej okazji, na przykład na urodziny.

Powyższe wytłumaczenie drugiego wiersza tabelki dla implikacji może się wydawać nieco naciągane, a jest tak dlatego, że w języku potocznym często wypowiadamy zdania typu jeśli..., to, rozumiejąc przez nie wtedy i tylko wtedy, gdy (którego to zwrotu nikt raczej nie używa). Jak za chwilę zobaczymy, tabelka dla równoważności różni się od tabelki implikacji tylko tym jednym kontrowersyjnym przypadkiem.

Z uwagi na rzadkie występowanie w języku potocznym spójnika wtedy i tylko wtedy, gdy trudno jest wskazać przykłady obrazujące prawomocność powyższej tabelki.

Najłatwiejszym sposobem na zapamiętanie tabelki dla równoważności wydaje się skojarzenie, że aby równoważność była prawdziwa, obie jej strony muszą być „równoważne” sobie, to znaczy albo obie fałszywe (pierwszy wiersz tabeli), albo obie prawdziwe (ostatni wiersz). Gdy natomiast strony równoważności posiadają różne wartości logiczne (drugi i trzeci wiersz tabeli), cała równoważność jest fałszywa.

DO ZAPAMIĘTANIA

Obecnie, dla utrwalenia, tabelki dla wszystkich spójników dwuargumentowych przedstawimy w formie skróconej „ściągi”:

Znajomość powyższej tabelki jest konieczna do rozwiązywania zadań z zakresu rachunku zdań. Najlepiej więc od razu nauczyć się jej na pamięć. Wymaga to niestety pewnego wysiłku i czasu, ale bez tego rozwiązywanie dalszych przykładów będzie niemożliwe.

1.2.2. PRAKTYKA-ZASTOSOWANIE TABELEK

Dzięki przedstawionym tabelkom, gdy znamy wartości logiczne zdań prostych (p, q, r itp.), możemy zawsze określić prawdziwość bądź fałszywość zdania z nich złożonego (niezależnie od jego długości).

Przypomnijmy, że wartość logiczna całego zdania złożonego będzie zawsze zobrazowana symbolem 0 lub 1 znajdującym się pod głównym spójnikiem zdania (czyli spójnikiem ostatecznie wiążącym wszystkie elementy zdania).

Przykład:

Obliczymy wartość logiczną zdania o schemacie p → (q ^ r) przy założeniu, że zmienne p i q reprezentują zdanie prawdziwe, natomiast zmienna r - zdanie fałszywe, a więc zachodzi sytuacja: p → (q ^ r).

1 1 0

Wartość logiczną całego zdania reprezentować będzie symbol umieszczony pod głównym spójnikiem schematu, a więc pod implikacją. Aby określić wartość implikacji, musimy znać wartość jej poprzednika i następnika. Poprzednikiem implikacji jest tu zdanie proste p i jego wartość mamy już podaną. Natomiast następnikiem jest tu całe ujęte w nawias wyrażenie (p ^ q), którego wartość musimy dopiero obliczyć. Robimy to, korzystając z tabelki dla koniunkcji, a dokładniej jej wiersza mówiącego, że gdy pierwszy człon koniunkcji jest prawdziwy, a drugi fałszywy, to cała koniunkcja jest fałszywa. Mamy zatem sytuację: p → (q ^ r)

1 1 0 0

(symbole podkreślone pokazują wartości, z których skorzystaliśmy do obliczeń).

W tym momencie możemy już określić wartość logiczną całego zdania, sprawdzając w tabelce, jaką wartość przyjmuje implikacja, której poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy: p → (q ^ r).

10100

Ostatecznie widzimy, że całe zdanie jest fałszywe, ponieważ pod głównym spójnikiem otrzymaliśmy wartość 0.

Uwaga na błędy!

Częstym błędem popełnianym przez początkujących jest niedostrzeganie, że zdanie wiązane przez spójnik jest złożone (np. następnik implikacji w powyższym przykładzie). Osoba popełniająca taki błąd może myśleć, że ostateczny wynik należy obliczyć, biorąc pod uwagę p jako poprzednik implikacji, a samo q jako jej następnik, a więc: p → (q ^ r )

11100 ŹLE!!!

Nie wolno tak jednak postępować w żadnym wypadku, ponieważ następnikiem implikacji jest całe, ujęte w nawiasie, wyrażenie, którego wartość znajduje się pod jego głównym spójnikiem, a więc koniunkcją.

Przykład:

Obliczymy teraz wartość logiczną zdania o schemacie (p → q) v ⁓ r, przy założeniach: p - 1, q - 0, r - 0, a więc:

(p → q)v ⁓ r.

1 0 0

W tym przypadku głównym spójnikiem jest alternatywa. Oba jej człony stanowią zdania posiadające własne spójniki logiczne (p → q oraz ~ r). Wartości tych zdań należy obliczyć najpierw. Korzystamy do tego z tabelek dla implikacji oraz dla negacji: (p → q) v ~ r,

1 0 0 0

(p → q) v ~ r.

1 0 0 10

Gdy znamy wartości logiczne obu członów alternatywy, możemy obliczyć ostateczny wynik. Czynimy to, korzystając z tabelki dla alternatywy i biorąc pod uwagę wartości otrzymane pod implikacją oraz negacją, czyli głównymi spójnikami obu członów alternatywy: (p → q) v ~ r.

100 110

Przykład:

Obliczymy wartość logiczną zdania o schemacie: ~(p^q)≡(~r→ ~s) przy założeniach: p - 1, q - 0, r - 1, s - 0, a więc: ~ (p ^ q) ≡ (~ r → ⁓s).

1 0 1 0

Głównym spójnikiem jest tu oczywiście równoważność. Obliczanie wartości jej stron rozpocząć musimy od obliczenia wartości koniunkcji w pierwszym nawiasie oraz negacji zdań prostych w drugim: ⁓ (p ^ q) ≡ (⁓ r → ⁓ s),

⁓ (p ^ q) ≡ (~ r → ~ s).

10 0 0 1 10

Następnie możemy określić wartość implikacji w drugim nawiasie, biorąc pod uwagę wartości otrzymane pod negacją r oraz negacją s (ponieważ poprzednikiem i następnikiem implikacji są zdania z negacją ⁓ r i ⁓ s): ⁓ (p ^ q) ≡ (~ r → ~ s).

1 0 0 0 1 1 10

W tym momencie nie możemy jeszcze przystąpić do określenia wartości logicznej równoważności, ponieważ nie została obliczona do końca wartość jej lewej strony. Pierwszy człon równoważności to bowiem nie sama koniunkcja (p ^ q), ale dopiero negacja tej koniunkcji. Negacja jest tu głównym spójnikiem (dopiero ona spina koniunkcję w całość), musimy więc najpierw obliczyć wartość negacji: ~ (p ^ q) ≡ (⁓ r → ⁓ s).

1 1 0 0 0 1 1 10

Dopiero teraz możemy określić wartość całego zdania:

⁓ (p ^ q) ≡ (⁓ r → ~ s).

1 1 0 0 1 0 1 1 10

Uwaga na błędy!

Jeśli negacja znajduje się przed nawiasem (jak w lewej stronie równoważności w przykładzie powyżej), to odnosi się ona do całego wyrażenia w nawiasie, a nie tylko do jego pierwszego członu. Aby poznać wartość tej negacji (a zarazem całego zdania, ponieważ negacja jest jego głównym spójnikiem), bierzemy pod uwagę główny spójnik wyrażenia w nawiasie, a więc: ⁓ (p ^ q)

1 1 0 0 DOBRZE

a nie:

~ (p ^ q)

0 10 0 ŹLE!!!

Przykład:

1 1 1 1 1

W schemacie powyższym głównym spójnikiem jest koniunkcja, łącząca zdanie w nawiasie kwadratowym z zanegowanym zdaniem w nawiasie okrągłym. W pierwszym kroku musimy obliczyć wartość negacji zdań prostych: [(p ≡ ~ q)v ~ r] ^ ( s → z).

1 0 1 0 1 0 1 1

Teraz możemy obliczyć wartość logiczną równoważności i implikacji w okrągłych nawiasach:

[(p ≡ ~ q) v ⁓ r] ^ ( s → z).

1001 01 00111

W kolejnym kroku obliczamy wartości logiczne alternatywy (nawias kwadratowy) oraz negacji formuły w drugim okrągłym nawiasie:

[(p ≡ ⁓ q) v ⁓ r] ^ ⁓ (~ s → z).

10 0 1 0 01 0 0 1 1 1

Ponieważ znamy już wartości członów głównej koniunkcji, możemy określić wartość logiczną całego zdania:

[(p ≡ ⁓ q) v ~ r] ^ ( s → z).

1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1

1.3. TAUTOLOGIE I KONTRTAUTOLOGIE

1.3.1. ŁYK TEORII

Jak łatwo zauważyć, formuły mogą okazywać się ostatecznie schematami zdań prawdziwych lub fałszywych w zależności od tego, jaką wartość przyjmują zdania proste wchodzące w ich skład. Przykładowo biorąc, gdy w schemacie p → ~ q za obie zmienne podstawimy zdania prawdziwe, cała implikacja okaże się fałszywa, gdy natomiast podstawimy za p i q zdania fałszywe, implikacja będzie prawdziwa.

Wśród formuł istnieją jednak też takie, które dają zawsze taki sam wynik, bez względu na wartość logiczną składających się na nie zdań prostych. Schematy, które w każdym przypadku dają ostatecznie zdanie prawdziwe, nazywamy tautologiami; schematy, które generują zawsze zdania fałszywe - kontrtautologiami. Ujmując rzecz bardziej formalnie, możemy powiedzieć, że tautologia to formuła, która przy każdym podstawieniu daje zdanie prawdziwe, natomiast kontrtautologia to formuła, która przy każdym podstawieniu daje zdanie fałszywe.

1.3.2. PRAKTYKA: SPRAWDZANIE STATUSU FORMUŁ

Przykład:

Obliczymy wartości logiczne formuły (p → q) → (~ p v q) przy wszystkich możliwych podstawieniach zdań prawdziwych i fałszywych za zmienne zdaniowe. Ponieważ mamy dwie zmienne, mogą zajść cztery sytuacje: (p → q) → (~ p v q)

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 1 0

1 1 1 1

Po obliczeniu wartości wyrażeń w nawiasach, będących poprzednikiem i następnikiem głównej implikacji, otrzymamy:

(p → q) → (~ p v q)

0 1 0 1 0 1 0

0 1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 0 0

1 1 1 0 1 1 1

Ostateczny wynik w każdym przypadku obliczamy następująco:

(p →q) → (~ p vq)

0 1 0 1 1 0 1 0

0 1 1 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 1 0 0

1 1 1 1 0 1 1 1

Ponieważ niezależnie od tego, jak dobieraliśmy wartości logiczne zmiennych zdaniowych, otrzymywaliśmy zawsze zdanie prawdziwe, badany schemat jest tautologią.

Przykład:

Sprawdzimy wartości logiczne formuły (p ^ ~ q) ^ (p → q) przy wszystkich możliwych podstawieniach zdań prawdziwych i fałszywych za zmienne zdaniowe. Ponieważ jest to dość prosty przykład i jego rozwiązanie zapewne nie sprawi nikomu kłopotu, nie będziemy jego analizy przeprowadzać krok po kroku.

(p ^ ⁓ q) ^ (p → q)

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 1 1

1 1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1 1

Badana formuła daje nam wyłącznie zdania fałszywe, niezależnie od tego, jakie zdania podstawimy w miejsce zmiennych. Jest to zatem kontrtautologia.

Przykład:

Zbadamy obecnie w podobny sposób formułę:

(⁓ p → ⁓ q) v (p ^ ⁓ q)

1 0 1 1 0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 1 1 1 0 1 1 1 1 0

0 1 1 0 1 1 1 0 0 1

W badanej formule, w zależności od tego, jakie zdania podstawialiśmy za zmienne, otrzymujemy ostatecznie czasem zdanie prawdziwe, a czasem fałszywe. Formuła nie jest więc ani tautologią, ani kontrtautologią.

1.4. SKRÓCONA METODA ZERO-JEDYNKOWA

1.4.1. ŁYK TEORII

Przedstawiona powyżej metoda badania statusu logicznego formuły (tego, czy jest ona tautologią, kontrtautologią, czy też ani tym, ani tym) nie jest ani najlepsza, ani jedyna. Pokazane przykłady miały za zadanie przede wszystkim usprawnienie umiejętności posługiwania się tabelkami zero-jedynkowymi i wyrobienie sobie ogólnej intuicji, czym jest tautologia i kontrtautologia.

Poznana metoda badania formuł, polegająca na sprawdzaniu wszystkich możliwych podstawień zer i jedynek, jest jeszcze możliwa do zaakceptowania w przypadku formuł z dwiema lub ewentualnie trzema zmiennymi zdaniowymi. W przypadku formuł dłuższych staje się ona całkowicie niewydolna - na przykład sprawdzenie statusu logicznego formuły mającej cztery zmienne wymagałoby zbadania szesnastu możliwości. Można sobie wyobrazić, ile czasu by to zajęło i jak łatwo można by się było w trakcie tych obliczeń pomylić.

Dlatego też do badania formuł wykorzystuje się zwykle tak zwaną skróconą metodę zero-jedynkową (nazywaną też metodą nie wprost), która pozwala na udzielenie odpowiedzi, czy dana formuła jest tautologią lub kontrtautologią często już po rozpatrzeniu jednego przypadku.

Skróconej metodzie badania statusu logicznego formuł poświęcimy znaczną ilość czasu, ponieważ omówimy przy tej okazji różnego rodzaju problemy, jakie mogą się pojawić przy zastosowaniu tabelek zerojedynkowych również przy innych okazjach, na przykład przy sprawdzaniu poprawności wnioskowań.

Ogólna idea metody skróconej

Wyobraźmy sobie, że chcemy się dowiedzieć, czy formuła jest tautologią, na razie jeszcze przy pomocy „zwykłej” metody polegającej na badaniu wszystkim możliwych podstawień zer i jedynek. Co by można było powiedzieć, gdyby już w pierwszym przypadku pod głównym spójnikiem badanego schematu pojawiło się zero? Oczywiście wiedzielibyśmy, że formuła na pewno już nie jest tautologią, bo przecież tautologia musi za każdym razem wygenerować zdanie prawdziwe. Wiedzę tę uzyskalibyśmy już po rozpatrzeniu jednego przypadku, więc nie byłoby potrzeby rozważania kolejnych. Moglibyśmy udzielić w 100% pewnej odpowiedzi - badana formuła nie jest tautologią.

Na powyższej obserwacji opiera się właśnie skrócona metoda zero-jedynkowa. Polega ona bowiem na poszukiwaniu już w pierwszym podejściu takich podstawień zer i jedynek dla zmiennych zdaniowych, aby wykluczyć możliwość, że formuła jest tautologią. Dokładniejszy opis metody skróconej najlepiej przedstawić jest na przykładzie.

1.4.2. PRAKTYKA: WYKORZYSTANIE METODY SKRÓCONEJ

Przykład:

Zbadamy przy pomocy metody skróconej, czy tautologią jest formuła (p → q) → (p v q). Gdybyśmy chcieli już w pierwszej linijce stwierdzić, że formuła nie jest tautologią, musielibyśmy znaleźć takie podstawienia zmiennych, aby pod głównym spójnikiem pojawiło się zero. Od tego więc zaczniemy: (p → q) → (p v q).

0

Wiemy zatem, że w poszukiwanym przez nas przypadku 0 musiałoby pojawić się pod spójnikiem implikacji. Gdy spojrzymy teraz do tabelki dla implikacji, zobaczymy, że może być ona fałszywa tylko w jednym przypadku - mianowicie jej poprzednik musi być prawdziwy, a następnik fałszywy. Aby więc w naszym przykładzie 0 mogło się pojawić tam, gdzie je postawiliśmy, prawdziwa musiałaby okazać się implikacja w pierwszym nawiasie, a fałszywa alternatywa w drugim. Otrzymujemy więc: (p → q) → (p v q)1 0 0

Uwaga na błędy!

Niektórzy początkujący adepci logiki, widząc w tabelce, że aby implikacja była fałszywa, p musi być 1, a q - 0, wpisują jedynki pod wszelkimi możliwymi zmiennymi p w formule, a zera pod wszystkimi q, np.: (p → q) → (p v q) 1 0 0 1 0 ŹLE!!!

Jest to oczywiście błąd. Zmienne „p” i „q” z tabelki należy rozumieć umownie, jako dowolny poprzednik i następnik implikacji. W naszym konkretnym przypadku poprzednikiem nie jest pojedyncze zdanie p, ale cała implikacja p → q (i to właśnie cała ta implikacja powinna posiadać wartość 1), zaś następnikiem nie proste zdanie q, ale alternatywa p v q (i to ona musi być fałszywa), a więc: (p → q) → (pv q) 1 0 0 DOBRZE

W pierwszym nawiasie otrzymaliśmy jedynkę przy implikacji. W tabelce dla tego spójnika widzimy, że jedynka może się przy nim pojawić w trzech różnych sytuacjach. Ponieważ nie wiemy, który wariant wybrać, zostawiamy na razie tę implikację i przechodzimy do drugiego nawiasu. Mamy tu fałszywą alternatywę. W tabelce dla alternatywy widzimy, że jest ona fałszywa tylko w jednym przypadku - gdy oba jej człony są fałszywe. Tu zatem nie mamy żadnego wyboru. Musimy wpisać zera pod obydwiema zmiennymi zdaniowymi:(p → q) → (p v q).

1 0 0 0 0

W tym momencie dowiedzieliśmy się, jakie powinny być wartości logiczne zmiennych p i q. Jako że wartości te muszą być oczywiście takie same w całym wyrażeniu (nie może być tak, aby jedno zdanie było w jednym miejscu prawdziwe, a w drugim fałszywe), przepisujemy je we wszystkie miejsca, gdzie zmienne p i q występują:(p → q)→ (p v q).

0 10 0 000