Krowy w labiryncie i inne eksploracje matematyczne ebook

Tytuł oryginału

COWS IN THE MAZE

and other mathematical explorations

Copyright © Joat Enterprises 2010

Projekt okładki

© Spike Gerrell

Przedruki rysunków za zgodą:

© Andrew Davidhazy,

© Science Museum/SSPL,

© „Nature” oraz Jonathan Callan,

© Sloan Digital Sky Survey,

© NASA,

© Dr Schaffer and Mr Stern Dance Ensemble

Redakcja

Małgorzata Denys

Korekta

Mariola Będkowska

ISBN 978-83-7961-644-2

Warszawa 2011

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

ul. Rzymowskiego 28

02-697 Warszawa

www.proszynski.pl

Wstęp

Krowy powracają.

Jeśli temat jest dla ciebie nowy albo poprzednio nie uważałeś, kilka słów wyjaśnienia. Krowy w labiryncie to trzeci zbiór moich felietonów „Mathematical Recreations” (Matematyczne rekreacje), ukazujących się w „Scientific American” i we francuskim wydaniu pisma „Pour La Science”, opublikowany przez Oxford University Press. Wersja francuska zazwyczaj zawiera własne specjalne materiały, więc przez pewien czas pisałem sześć felietonów rocznie do wydania amerykańskiego i sześć do francuskiego. Poza tym powstały jeszcze dwa wcześniejsze zbiory, opublikowane przez innych wydawców.

A prawda, krowy.

Kiedy przygotowywaliśmy pierwszy zbiór dla Oxford University Press, Histerie matematyczne, wydawcy postanowili, że aby książka sprawiała wrażenie jeszcze bardziej przystępnej, przy każdym rozdziale zamieszczą zabawny rysunek. W przebłysku geniuszu zaprosili do współpracy rysownika Spike’a Gerrella. Jeden z rozdziałów dotyczył „liczenia bydła na Słońcu”, piekielnie skomplikowanej łamigłówki, której rozwiązanie ma 206 545 cyfr i zostało odkryte w 1880 roku. Istnieją powody, by przypuszczać, że być może w zamyśle twórcy tej zagadki, Archimedesa, nie miała ona być aż tak szatańska… ale z Archimedesem nigdy nic nie wiadomo.

W każdym razie Spike uczepił się tego prostego krowiego motywu, bo krowy wychodzą mu nader nadobne. Na okładce znalazła się jedna przeskakująca Księżyc i trzy w przepaskach na oczach – a właściwie w kapturach. Jeśli spojrzymy na grzbiet książki, zobaczymy jeszcze jedną krowę, spoglądającą na nas zza rogu.

Następny zbiór, How to Cut a Cake, był strefą wolną od krów, chociaż Spike narysował koniki szachowe, splątanego kota – splątanego kablem telefonicznym, bez związku ze Schrödingerem i kwantami – oraz skonsternowanego królika. Okazja do wynagrodzenia krowom tej niesprawiedliwości nadarzyła się, kiedy zdecydowaliśmy o przygotowaniu kolejnego zbioru, a jednym z tematów, jakie mogliśmy w nim wykorzystać, były „Krowy w labiryncie”. Przy okazji zaoszczędziło nam to trudu wymyślania tytułu.

Może wydaje ci się, że matematyka to dość poważna sprawa, a stadu krów gnającemu przez labirynt i obserwowanemu przez ekipę inżynierów, którzy albo ten labirynt budują, albo go rozbierają, brakuje właściwego ciężaru gatunkowego. Jednak, jak często powtarzam, „poważne” nie musi być równoważne z „podniosłym”. Matematyka to faktycznie poważna rzecz: nasza cywilizacja nie mogłaby bez niej funkcjonować – co zapewne dla wielu stanowi nowość, ale można to z łatwością udowodnić każdemu zainteresowanemu. Matematyka jest poważna do tego stopnia, że wszyscy musimy zacząć traktować ją z nieco większym luzem i przestać się tak strasznie spinać z powodu miejsc po przecinku, ułamków i równoległoboków (czy nadal uczą tego w szkole?), bo przesłaniają nam one wielki sekret, sprawiający, że ten przedmiot staje się znacznie strawniejszy.

Mianowicie: matematyka to niezła zabawa.

Nawet poważne kwestie są fajne, w pewien specyficzny – poważny – sposób. Mało co może przebić to niesamowite uczucie, kiedy w głowie zapala się nam żaróweczka i nagle zaczynamy rozumieć mechanizm rządzący danym matematycznym problemem. Badania naukowe w dziedzinie matematyki – stanowiące znaczną część mojej pracy, kiedy nie piszę książek – składają się w 99 procentach z walenia głową w metaforyczny mur, a w jednym procencie z nagłego uświadomienia sobie, dlaczego wszystko jest zupełnie oczywiste, a my byliśmy niewiarygodnie głupi. Błysk! Zapala się żaróweczka, a my wyzbywamy się przekonania o własnej tępocie, skoro 99,99 procent gatunku ludzkiego nie zrozumiałoby tego zadania, a co dopiero rozwiązania, a przecież matematyka zawsze wydaje się łatwa, kiedy już się ją zrozumie.

O tym, że zostałem matematykiem, zdecydowała między innymi comiesięczna rubryka matematyczna w „Scientific American”, wówczas zatytułowana „Mathematical Games” (Gry matematyczne) i prowadzona przez niezrównanego Martina Gardnera. Nie był matematykiem, ale nazywanie go tylko dziennikarzem byłoby sporym niedopowiedzeniem. To publicysta, którego zainteresowania obejmują łamigłówki, sztuczki magiczne, filozofie oraz demaskowanie idiotyzmów pseudonauki. Jego felietony z cyklu „Mathematical Games” sprawdzały się właśnie dlatego, że nie był matematykiem, ale miał niezwykłe instynktowne wyczucie tego, co interesujące, ciekawe i istotne. Nie dam rady mu dorównać i nigdy nie próbowałem. Właśnie Gardner pokazał mi, że matematyka jest dziedziną znacznie szerszą i bogatszą niż to, czego uczyli mnie w szkole.

Na lekcje matematyki nie narzekam. Miałem paru znakomitych nauczycieli, a jeden z nich – nazywał się Gordon Radford – poświęcał większość wolnego czasu na uczenie mnie i kilku kolegów tego samego, czego dowiadywałem się od Gardnera: że matematyka to coś zdecydowanie więcej, niż wynikałoby z podręczników. Szkoła nauczyła mnie techniki, ale Gardner zaraził mnie pasją. Kathleen Ollerenshaw – wybitna brytyjska nauczycielka tego przedmiotu, uhonorowana szlacheckim tytułem dame – wspomina zdarzenie ze swoich szkolnych lat, kiedy wymsknęło się jej, że chciałaby odkryć w matematyce coś nowego. Któryś z jej kolegów się z nią nie zgodził: po co się fatygować, skoro na świecie i tak już jest za dużo matmy? Ja trzymam z dame Kathleen. Jak pokazuje jeden z rozdziałów, udało jej się spełnić ambicję z młodości, mimo że związała się zawodowo z oświatą i samorządem. Miała wtedy 82 lata, a działo się to dziesięć lat temu.

Krowy w labiryncie można czytać w dowolnej kolejności: każdy rozdział stanowi odrębną całość i możesz ominąć wszystko, co ci się nie podoba. (To jeszcze jeden wielki matematyczny sekret, który miałem szczęście poznać w młodym wieku: nie koncentruj się obsesyjnie na trudnych szczegółach, jedź dalej. Często wtedy doznasz olśnienia, a jeśli nie, zawsze możesz wrócić i spróbować jeszcze raz). Wyjątkiem jest sekwencja trzech rozdziałów (pierwotnie były to dwa felietony, ale jeden miał gigantyczne rozmiary, więc podzieliłem go na dwie części) o matematyce podróży w czasie.

Znajdziesz tu różnorodne tematy – to nie podręcznik, ale celebracja radości z matematycznych badań i odkryć. Niektóre rozdziały mają formę opowieści, inne stanowią proste opisy. Musiałem zrezygnować z pisania felietonów w formie opowieści, kiedy w amerykańskim czasopiśmie zmniejszono miejsce przeznaczone na nie z trzech stron do dwóch. Francuzi dalej pozwalali mi realizować moje narracyjne zapędy co drugi miesiąc, kiedy matematyczna rubryka nie pojawiała się w wydaniu amerykańskim, aż Amerykanie zgodzili się, żebym pisał felieton do każdego numeru. Abstrahując od krów, wymagający czytelnik znajdzie na tych stronach najróżniejsze dziedziny prawdziwej matematyki: teorię liczb, geometrię, topologię, rachunek prawdopodobieństwa, kombinatorykę… a także zagadnienia z kilku obszarów matematyki stosowanej, między innymi mechaniki płynów, fizyki matematycznej i poruszania się zwierząt.

Felietony bardzo skorzystały na ożywionej korespondencji z czytelnikami, którzy w końcu stali się źródłem mniej więcej połowy pomysłów na tematy przedstawiane w mojej rubryce. Zaczęliśmy zamieszczać kącik z odpowiedziami na ich pytania i uwagi, a teraz uwzględniłem ich sugestie w większości rozdziałów. Starałem się zachować ducha oryginałów, jednocześnie je uaktualniając i usuwając z nich wszelkie błędy lub niejasności, jakie znalazłem. Wprowadziłem także nowość, odzwierciedlającą rosnącą wagę Internetu: odsyłacze do ciekawych stron WWW.

Jestem wdzięczny mojej redaktorce, Lathcie Menon, oraz wszystkim innym pracownikom Oxford University Press, którzy dali się przekonać i zgodzili się na moje dalsze harce z krowami Spike’a. Dziękuję też Spike’owi za ozdobioną przedstawicielkami rogacizny okładkę, Philippe’owi Boulangerowi za to, że to dzięki niemu wszystko się zaczęło, gdy wpuścił mnie na łamy „Pour La Science”, oraz pismu „Scientific American” za to, że pomogło mi spełnić marzenie z dzieciństwa.

Ian Stewart

Coventry, wrzesień 2009

Rozdział 1

Dyskretny urok kostek

Kostki do gry… wydają się takie proste, zwykłe sześciany z liczbami na ściankach. Starożytni używali ich do gier hazardowych, a także do odgadywania woli bogów. O kostkach w ujęciu matematycznym zaczęto rozprawiać stosunkowo niedawno, kiedy zrozumiano, że przypadkiem rządzą pewne prawidłowości. Jeśli się wie, jak ich szukać.

Rozdział 2

W poszukiwaniu wielokątnej prywatności

Niektóre z najtrudniejszych matematycznych zagadek mają swoje źródło w codziennym życiu. Kto by pomyślał, że prosta czynność stawiania płotów może wiązać się z problemami, których do tej pory nikt nie był w stanie rozwiązać?

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 3

Zwycięskie połączenia

Niektóre matematyczne gry są naprawdę matematyczne. Nie ma na to lepszego przykładu niż gra hex. Polega na takim rozstawieniu pionków na planszy o wzorze plastra miodu, by połączyć dwie przeciwległe krawędzie. Proste? Heksowi poświęcono całą książkę.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 4

Mistrzowie skoków

Matematycy na całym świecie nie przestają łamać sobie głów nad liczbami pierwszymi. Wszystko wskazuje na to, że najczęstszą różnicą między kolejnymi liczbami pierwszymi jest 6 – z pewnością sprawdza się to w przedziale do mniej więcej biliona. Biorąc pod uwagę tę olbrzymią ilość dowodów „z doświadczenia”, czy mamy prawo wywnioskować, że 6 zawsze jest najczęstszą różnicą kolejnych liczb pierwszych, bez względu na to, jak dużą wartość będą one przyjmować?

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 5

Spacery z czworonogami

Rodzaje chodu zwierząt mogą być różne, a wiele z nich odznacza się symetrią. Zaczynamy rozumieć dlaczego. Wszystko sprowadza się do układów sieci komórek nerwowych, kontrolujących poruszanie się zwierząt. Wyjaśnią nam to Tarzan i Jane.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 6

Parkietaż z węzłów

Parkietaże złożone z „kafelków” kwadratowych, prostokątnych, sześciokątnych oraz krzywizn – matematyków oczarowały ich wzory, zadziwiła wszechstronność i zaskoczyła pozorna prostota związanych z nimi pytań, które w istocie okazują się niezwykle trudne. Ale czy przyszły ci kiedyś do głowy kafelki węzłowe?

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 7

Podróż do przyszłości, część I: w pułapce czasu

Odkąd H.G. Wells nieco ponad sto lat temu napisał Wehikuł czasu, podróże w czasie stały się dyżurnym tematem w fantastyce naukowej. Od kilkudziesięciu lat temat ten przewija się także w fizyce relatywistycznej. Pomimo wielu paradoksów prawa fizyki w obecnym rozumieniu nie wykluczają podróżowania w czasie. Witamy w Hawkrose & Penking Heavy Engineering.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 8

Podróż do przyszłości, część II: czarne dziury, białe dziury i tunele czasoprzestrzenne

W poprzednim odcinku:

Podróżnik w czasie przybył do zakładów Hawkrose & Penking Heavy Engineering. Jego wehikuł został poważnie uszkodzony, a z powodu wyginięcia słoni naprawa jest niemożliwa. Mimo to firma Hawkrose & Penking może będzie potrafiła mu pomóc. Przybysz dowiedział się o szczególnej teorii względności, w której prędkość światła jest stała.

Ciąg dalszy…

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 9

Podróż do przyszłości, część III: powrót do przeszłości, z odsetkami…

W poprzednim odcinku:

W teorii względności „wehikuł czasu” oznacza tyle, co „zamknięta krzywa czasopodobna”. Znane nam prawa fizyki nie wykluczają istnienia czegoś takiego. Firma Hawkrose & Penking potrafi połączyć czarną i białą dziurę w tunel czasoprzestrzenny. Ale to transmisja materii, a nie podróż w czasie. Prawda?

Ciąg dalszy…

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 10

Zakręcony stożek

Mogłoby się wydawać, że geometria stożków to temat stary jak świat. Wcale nie. Sklej ze sobą dwa stożki podstawami. Przekrój powstałą bryłę na pół wzdłuż. Jeśli stożki mają odpowiedni kształt, otrzymasz kwadrat. Przekręć jedną połowę o kąt prosty i sklej obie części z powrotem. Tak powstaje sferostożek, fascynująca matematyczna zabawka.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 11

Jaki kształt ma łza?

Nasze zmysły czasem nas zwodzą, a to właśnie jeden z takich przypadków. Jaki kształt ma łza? Pewnie się nie zdziwisz, słysząc, że nie jest to kształt łezki. Ale może poczujesz się zaskoczony tym, jak diabelnie skomplikowana okazuje się odpowiedź na to pytanie.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 12

Błąd przesłuchującego

Coraz częściej matematyka ma kontakt z wymiarem sprawiedliwości. Nie, nie zdelegalizowano równań kwadratowych – przykro mi! Za sprawą materiału dowodowego DNA na sale sądowe trafiła teoria prawdopodobieństwa, otwierając tym samym przysłowiową puszkę Pandory. Co więc robią sądy? Próbują wyrzucić matematykę z powrotem.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 13

Krowy w labiryncie

No, nareszcie doszliśmy do krów! Ale żeby je znaleźć, trzeba przejść labirynt. Nie taki zwykły, z żywopłotami, ślepymi zaułkami itp., tylko labirynt logiczny. Potrzebne ci będą dwa ołówki, a twoja droga będzie zależeć od tego, który z nich wybierzesz. Na zachętę na końcu czeka na ciebie krowa.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 14

Problem konika szachowego na prostokątnej planszy

To zagadka licząca sobie co najmniej 1200 lat: jak poruszać się skoczkiem po szachownicy, aby tylko raz stanąć na każdym polu. Mimo że łamały sobie nad nią głowy kolejne pokolenia matematyków, w dalszym ciągu nie rozumiemy wielu związanych z nią kwestii. Nawet prostokątne szachownice nadal skrywają parę tajemnic. Ale na niektóre z najważniejszych pytań znaleziono ostatnio odpowiedzi.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 15

Kocia kołyska – wyzwanie rachunkowe

Potrzebujesz tylko pętli ze sznurka i pomocy przyjaciela, kiedy dwie ręce już nie wystarczą. „Kocia kołyska” to zaledwie jedna z całego mnóstwa figur ze sznurka, spotykanych w wielu kulturach. Ale co to ma wspólnego z matematyką?

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 16

Szklane butelki Kleina

Topologia to geometria gumy, ale większość matematyków woli tradycyjne narzędzia w postaci tablicy i kredy – jeśli akurat nie używa superkomputera. Alan Bennett wybrał inne podejście. Lubi robić różne rzeczy ze szkła. Udowadnia nawet w ten sposób twierdzenia.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 17

Cementujące związki

Często wydaje się, że sztuka i nauka znajdują się na przeciwległych biegunach, ale co pewien czas jakiemuś artyście udaje się zawrzeć istotne idee naukowe w obrazie, tańcu lub rzeźbie. Podstawą dla dziwnych, księżycowych pejzaży Jonathana Callana są fizyczne właściwości cementu. Ale do matematyki stąd niedaleko.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 18

W plątaninie węzłów

Topologiczne ujęcie węzłów pomija bardziej praktyczne aspekty, takie jak grubość sznurka czy istnienie tarcia. Ich uwzględnienie daje początek nowej teorii, opartej na wiązaniu węzłów na prawdziwych linach.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 19

Najdoskonalsze kwadraty magiczne

Kombinatoryka to sztuka liczenia elementów bez ich wymieniania – zazwyczaj dlatego, że takie listy byłyby za duże, żeby zmieścić się w obecnym wszechświecie. Jednym z najważniejszych otwartych problemów w matematyce rekreacyjnej jest liczenie kwadratów magicznych danej wielkości. Znamy już rozwiązanie dla ważnej klasy takich kwadratów.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 20

To się nie da!

Odkrywcy trzysiecznej kąta i kwadratury koła zwykle się denerwują, kiedy matematycy odsyłają ich prace, mówiąc, że (a) są błędne oraz (b) nie, nie przeczytali ich, żeby znaleźć błąd. Faktycznie, jest to denerwujące. Ale także zupełnie uczciwe i całkowicie logiczne. W matematyce można przeprowadzić dowód negatywny.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 21

Taniec z dwunastościanami

Sposobów na wykorzystanie matematyki, a także na jej nauczanie, jest wiele. Ale takie podejście nie przyszło mi do głowy, dopóki nie opowiedzieli mi o nim jego twórcy. W przeciwieństwie do większości matematycznych rekreacji, ta ma charakter towarzyski. Czasem potrzeba do niej aż dziesięciu osób. Chodzi o taniec.

Dostępne w pełnej wersji

Bibliografia

Dostępne w pełnej wersji