Po co nam matematyka. Niedorzeczna skuteczność matematyki ebook

Tytuł oryginału

WHAT’S THE USE?

The Unreasonable Effectiveness of Mathematics

Copyright © Joat Enterprises, 2021

All rights reserved

Projekt okładki

Harry Haysom

Redaktor prowadzący

Adrian Markowski

Redakcja

Anna Kaniewska

Korekta

Małgorzata Denys

ISBN 978-83-8295-558-3

Warszawa 2022

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28

www.proszynski.pl

ROZDZIAŁ 1

Niepojęta skuteczność

Stosowność języka matematyki do formułowania praw fizyki jest cudownym darem, którego nie rozumiemy ani nań nie zasługujemy. Powinniśmy być za niego wdzięczni i mieć nadzieję, że pozostanie on w mocy w przyszłych badaniach oraz że rozszerzy się on, lepiej lub gorzej, dla naszej przyjemności, a może też dla naszego zmieszania, na szerokie gałęzie wiedzy.

Eugene Wigner, The Unreasonable Effectiveness

of Mathematics in the Natural Sciences

(Niepojęta skuteczność matematyki

w naukach przyrodniczych)1

Do czego wykorzystujemy matematykę?

Co daje nam matematyka w codziennym życiu?

Jeszcze nie tak dawno temu odpowiedzi na te pytania były trywialne. Przeciętny obywatel posługiwał się podstawową arytmetyką nieustannie, choćby do sprawdzania otrzymywanego w sklepie rachunku. Stolarze musieli znać podstawy geometrii, a geodeci i nawigatorzy – orientować się też w trygonometrii. Zawód inżyniera wymagał biegłej znajomości rachunku różniczkowo­-całkowego.

Dziś sprawy mają się inaczej. Kasa w supermarkecie podlicza rachunek, radzi sobie z promocyjną obniżką ceny mięsa, dodaje podatek. Słuchamy pisków wydawanych przez laserowe czytniki kodów kreskowych i jeśli liczba pisków zgadza się z liczbą zakupionych artykułów, to uznajemy, że elektroniczne ustrojstwa wiedzą, co robią. Wiele zawodów nadal bazuje na rozległej wiedzy matematycznej, lecz nawet w tych przypadkach większość działań matematycznych została przez nas przerzucona na urządzenia elektroniczne z zaimplementowanymi algorytmami.

Wprost rzuca się w oczy nieobecność matematyki. Królowa nie jest naga, jej po prostu nie ma w sali tronowej.

Łatwo przyszłoby sformułowanie wniosku, że matematyka stała się przestarzała lub zbędna, lecz pogląd taki jest błędny. Bez matematyki dzisiejszy świat rozpadłby się na kawałki. Jako dowód na poparcie tej tezy zamierzam pokazać zastosowania matematyki w polityce, stanowieniu prawa, przeszczepach nerek, harmonogramach dostaw do supermarketów, zabezpieczeniach internetowych, kinowych efektach specjalnych, produkcji sprężyn. Zobaczymy, jak zasadniczą rolę odgrywa ona w obrazowaniu medycznym, fotografii cyfrowej, szerokopasmowej łączności światłowodowej i nawigacji satelitarnej. Jak pomaga nam przewidywać skutki zmian klimatycznych, jak może nas chronić przed atakami terrorystycznymi i działaniami internetowych hakerów.

Warto zauważyć, że wiele z tych zastosowań wykorzystuje osiągnięcia matematyki, które pierwotnie kształtowały się z zupełnie innych pobudek, będąc często efektem podążania za czystym przeczuciem. Zbierając materiały do tej książki, nieustannie byłem zaskakiwany tym, że natykałem się na zastosowania matematyki, o których istnieniu nie miałem zielonego pojęcia. Niejednokrotnie korzystają one z zagadnień, o których w ogóle nie pomyślałbym, że mogą mieć jakiekolwiek zastosowania praktyczne, takich jak krzywe wypełniające przestrzeń, kwaterniony i topologia.

Matematyka jest bezkresnym, ogromnie twórczym systemem pojęć i metod. Znajduje się u podstaw transformatywnych technologii, które sprawiły, że XXI wiek jest całkowicie odmienny od wszystkich wcześniejszych epok, zaklinając jego ducha w grach wideo, międzynarodowym ruchu lotniczym, łączności satelitarnej, komputerach, Internecie, telefonach komórkowych2. Poskrobcie iPhone’a, a ujrzycie jasny przebłysk matematyki.

Tylko, proszę, nie bierzcie tego dosłownie.

*   *   *

Niektórzy są skłonni przyjmować założenie, że komputery wraz z ich niemal cudownymi możliwościami sprawiają, iż matematycy są niepotrzebni, zbędna jest wręcz sama matematyka. Jednak komputery nie zastępują matematyków w takim samym stopniu jak mikroskopy nie zastąpiły biologów. Komputery zmieniają sposób,w jaki uprawiamy matematykę, ale przeważnie uwalniają nas od żmudnej dłubaniny. Dają nam czas do namysłu, pomagają szukać schematów i stanowią nową, potężną broń, która umożliwia szybszy i skuteczniejszy rozwój matematyki.

Tak naprawdę to właśnie wszechobecność tanich i wydajnych komputerów jest głównym powodem tego, że matematyka zyskuje na znaczeniu jak nigdy wcześniej. Ich pojawienie się stworzyło nowe szanse na zastosowanie matematyki do problemów napotykanych w realnym świecie. Metody, które dotychczas były niepraktyczne, ponieważ wymagały przeprowadzania zbyt wielu obliczeń, teraz stosowane są rutynowo. Na samo wspomnienie metody wymagającej miliarda obliczeń najwięksi matematycy ery papieru i ołówka wpadliby w rozpacz. Dziś rutynowo posługujemy się takimi sposobami, dysponujemy bowiem technologią pozwalającą wykonywać obliczenia w ułamku sekundy.

Matematycy od dawna znajdują się w awangardzie informatycznej rewolucji – wraz z niezliczonymi przedstawicielami innych specjalności, spieszę dodać. Weźmy na przykład George’a Boole’a, pioniera logiki symbolicznej, na której opiera się architektura dzisiejszych komputerów, albo Alana Turinga, twórcę uniwersalnej maszyny Turinga, matematycznego systemu zdolnego przeliczyć wszystko, co jest możliwe do obliczenia. Pomyślmy też o Muhammadzie al-Chuwarizmi, autorze tekstu na temat algebry z 820 roku n.e., w którym podkreślał rolę systematycznych procedur obliczeniowych, obecnie znanych jako algorytmy – nazwa ta pochodzi od jego nazwiska.

Większość algorytmów, nadających komputerom ich imponujące zdolności, jest mocno zakorzeniona w matematyce. Wiele z tych rozwiązań zostało wziętych wprost „z półki” w bibliotece istniejących zagadnień matematycznych, jak choćby algorytm Rankingu Stron Google’a, który ilościowo określa ważność stron internetowych, stając się fundamentem dla rozwoju branży o multi­miliardowych obrotach. Nawet najbardziej odlotowy algorytm głębokiego uczenia sztucznej inteligencji wykorzystuje wypróbowane i sprawdzone matematyczne koncepcje, takie jak macierze i grafy ważone. Tak prozaiczne zadanie jak przeszukiwanie dokumentu pod kątem wybranego ciągu liter przynajmniej w jednej z powszechnie stosowanych metod opiera się na matematycznym gadżecie nazywanym automatem skończonym.

Zdajemy się zapominać o udziale matematyki w tych ekscytujących wynalazkach. Gdy więc następnym razem w mediach pojawią się entuzjastyczne informacje o jakiejś nowej, cudownej zdolności komputerów, weźmy pod uwagę, że stoi za nimi solidna doza matematyki, a swój znaczący udział mają też inżynieria, fizyka, chemia i psychologia, bez wsparcia tych ukrytych pomocników zaś wielbiona gwiazda cyfrowego świata nie byłaby w stanie dumnie paradować w świetle jupiterów.

*   *   *

Znaczenie matematyki dla dzisiejszego świata jest tak mocno niedoceniane dlatego, że niemal wszystkie jej oddziaływania są zakulisowe. Kiedy idziemy ulicami miasta, wprost przytłaczają nas znaki świadczące o wadze, jaką dla codziennego życia mają banki, sklepy spożywcze, supermarkety, butiki z odzieżą, warsztaty samochodowe, prawnicy, restauracje, antykwariaty, organizacje dobroczynne i tysiące innych firm lub zawodów. Nie natkniemy się na mosiężną tabliczkę informującą o obecności w tym miejscu konsultanta specjalizującego się w dziedzinie matematyki. Supermarkety nie sprzedają puszek z matematyką.

Wystarczy jednak sięgnąć nieco głębiej i jej znaczenie staje się oczywiste. Matematyczne równania opisujące aerodynamikę są kluczowe dla projektantów samolotów. Nawigatorzy wykorzystują trygonometrię. Sposób, w jaki robimy to dzisiaj, różni się od metod stosowanych przez Krzysztofa Kolumba, ponieważ zamiast pośrednictwa atramentu, pióra i tablic nawigacyjnych matematyka przemawia teraz przez urządzenia elektroniczne, jednak leżące u podstaw zasady są wciąż takie same. Proces opracowywania nowych lekarstw bazuje na metodach badań statystycznych, które pozwalają się upewnić, że leki są skuteczne i bezpieczne. Łączność satelitarna możliwa jest dzięki dogłębnej znajomości dynamiki ruchu orbitalnego. Prognozowanie pogody wymaga rozwiązywania równań opisujących ruch mas powietrza, zależnych od jego wilgotności, temperatury poszczególnych stref i wzajemnego ich oddziaływania. Istnieją tysiące innych przykładów. Nie zauważamy, że we wszystkich tych działaniach odwołujemy się do wiedzy matematycznej, ponieważ nie musimy tego wiedzieć, aby czerpać z nich korzyść.

Co sprawia, że matematyka jest tak użyteczna w szerokim spektrum aktywności człowieka?

Pytanie to nie jest nowe. W 1959 roku fizyk Eugene Wigner wygłosił na Uniwersytecie Nowojorskim prestiżowy wykład3 zatytułowany Niepojęta skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych. Skupił się w nim na nauce, ale podobny wniosek o niepojętej skuteczności matematyki można byłoby wysnuć w odniesieniu do rolnictwa, medycyny, sportu, polityki... czego tylko dusza zapragnie. Sam Wigner miał nadzieję, że skuteczność ta rozciągnie się na „szerokie gałęzie wiedzy”. Z całą pewnością tak się stało.

Kluczowe słowo wyróżnia się w tym tytule, ponieważ jest zaskakujące: niepojęta. Większość zastosowań matematyki, kiedy już pozna się metody wykorzystywane do rozwiązania jakiegoś ważnego problemu lub skonstruowania użytecznego gadżetu, jest całkowicie sensowna. Jest całkowicie sensowne na przykład, że inżynierowie wspomagają się równaniami aerodynamiki przy projektowaniu samolotów. Przecież właśnie po to aerodynamika powstała. Większość zagadnień matematycznych wykorzystywanych w prognozowaniu pogody rozwijano z myślą o takim zastosowaniu. Statystyka narodziła się z odkrycia wielkoskalowych schematów w zbiorach danych na temat ludzkich zachowań. Zaprojektowanie zmiennoogniskowych okularów wymaga ogromnej dozy matematyki, ale w większości rozwijano ją właśnie z myślą o optyce.

Zdolność matematyki do rozwiązywania ważnych problemów staje się niepojęta, w sensie proponowanym przez Wignera, gdy brak takich połączeń między pierwotnymi motywacjami stojącymi za rozwojem matematyki i ewentualnym ich zastosowaniem w praktyce. Wigner zaczął swój wykład od historii, którą sparafrazuję i nieco ubarwię.

Spotyka się dwóch dawnych kolegów ze szkolnej ławy. Jeden z nich, statystyk zajmujący się badaniem trendów w populacji, pokazał drugiemu jeden ze swoich artykułów naukowych, zaczynający się od standardowego wzoru w statystyce, opisującego rozkład normalny albo „krzywą dzwonową”4. Wyjaśnił znaczenie różnych symboli – ten związany jest z wielością populacji, tamten to średnia próbki – oraz jak wykorzystuje się wzór do wywnioskowania wielkości populacji bez konieczności zliczania ludzi. Słuchający naukowca podejrzewał, że kolega stroi sobie z niego żarty, ale nie miał pewności, postanowił więc wypytać o inne symbole. W ten sposób dotarł w końcu do tego, który wyglądał jak π.

– Co to takiego? Wygląda znajomo.

– Tak, to liczba pi, stosunek obwodu koła do jego średnicy.

– No to teraz wiem, że robisz mnie w konia! – stwierdził słuchający. – Co, u licha, koło może mieć wspólnego z wielkością populacji?

Pierwsza kwestia związana z tą historią jest taka, że sceptycyzm drugiego z dwójki szkolnych kolegów jest całkowicie zasadny. Zdrowy rozsądek podpowiada nam, że dwa tak odmienne pojęcia nie mogą być ze sobą powiązane. Na litość boską, jedno wywodzi się z geometrii, drugie dotyczy ludzkich zbiorowisk. Druga kwestia jest jednak taka, że mimo podszeptów zdrowego rozsądku owo powiązanie istnieje. Krzywa dzwonowa opisywana jest wzorem, w którym rzeczywiście znajduje się liczba π. Nie jest tylko wygodnym przybliżeniem, to naprawdę jest stara, dobra liczba pi. Jednakże powód pojawienia się jej w kontekście krzywej dzwonowej jest dalece nieintuicyjny, nawet dla matematyków. Żeby zobaczyć, skąd się bierze, a co dopiero dlaczego, trzeba orientować się w rachunku różniczkowym i całkowym na poziomie zaawansowanym.

Pozwólcie, że opowiem jeszcze jedną historyjkę z liczbą π. Kilka lat temu remontowaliśmy łazienkę na parterze domu. Spencer, zdumiewająco wszechstronny rzemieślnik, który przyszedł dopasować płytki, odkrył, że jestem autorem książek popularyzujących matematykę.

– Mam dla pana problem matematyczny – powiedział. – Muszę wyłożyć kafelkami podłogę w kształcie koła i chciałbym wiedzieć, jaka jest jej powierzchnia, aby obliczyć, ile płytek będzie potrzebnych. Uczyli nas jakiegoś wzoru...

– Pi r kwadrat – podpowiedziałem.

– O, właśnie tak!

Przypomniałem mu, jak się z tego wzoru korzysta. Wyszedł wyraźnie zadowolony, z gotowym rozwiązaniem swojego problemu płytek, podpisanym przeze mnie egzemplarzem jednej z moich książek i przeświadczeniem, że matematyka, której uczył się w szkole, wbrew hołdowanemu od dawna przekonaniu, może być przydatna w wykonywanym przez niego zawodzie.

Różnica między tymi dwoma opowiastkami jest ewidentna. W drugiej z nich liczba π pojawia się, ponieważ potrzebna jest do rozwiązania problemu tego samego rodzaju, jaki pierwotnie leżał u podstaw wyprowadzenia wspomnianego wzoru. W pierwszej historyjce liczba π również wykorzystywana jest do rozwiązania problemu, jednak jej pojawienie się jest niespodzianką. To historyjka o niepojętej skuteczności: opowiadająca o zastosowaniu pojęcia matematycznego do zagadnienia całkowicie oderwanego od pierwotnych pobudek, jakie stały za rozwojem idei.

W niniejszej książce nie zamierzam mówić wiele o zastosowaniach matematyki, które logicznie wynikają z pierwotnych pobudek. Na pewno warto o nich opowiedzieć, są interesujące, należą do matematycznego krajobrazu jak wszystko inne i są na równi ważne, ale... nie zmuszają nas do tego, żeby usiąść z wrażenia i wykrzyknąć: „Wow!”. Potrafią też sprowadzić na manowce rządzących, zaczynają oni sobie bowiem wyobrażać, że jedyna droga dokonywania postępu w matematyce polega na wybraniu problemów i podrzuceniu ich matematykom, którzy będą nad nimi ślęczeć, aż znajdą rozwiązanie. Nie ma nic złego w badaniach tego rodzaju, zorientowanych na osiągnięcie konkretnego celu, ale to jak pojedynek bokserski z jedną ręką związaną za plecami. W przeszłości raz za razem przekonywaliśmy się o wartości tej drugiej ręki, którą jest zdumiewająca siła ludzkiej wyobraźni. Źródłem potęgi matematyki jest połączenie tych dwóch sposobów myślenia, ich wzajemne dopełnianie się.

Na przykład w 1736 roku wielki matematyk Leonhard Euler zajął się drobną, aczkolwiek interesującą zagadką, dotyczącą spacerujących po mostach ludzi. Zaciekawiła go, ponieważ jej rozwikłanie zdawało się wymagać całkiem nowego rodzaju geometrii, w którym byłyby odrzucane tradycyjne pojęcia długości i kątów. Nie mógł przewidzieć, że w XXI wieku tor myślenia zapoczątkowany przez jego rozwiązanie pomoże większej liczbie pacjentów uzyskać ratujący życie przeszczep nerki. Przede wszystkim przeszczepy nerki były w czasach Eulera czystą mrzonką, ale nawet gdyby nią nie były, to związek między zagadką a transplantacją narządów wydawałby się czymś absurdalnym.

Komu przyszłoby do głowy, że odkrycie krzywych wypełniających przestrzeń – krzywych przechodzących przez każdy punkt kwadratu – pomoże firmie Meals on Wheels w planowaniu tras pokonywanych przez dostawców? Z pewnością nie matematykom, rozważającym te kwestie w latach dziewięćdziesiątych XIX wieku, którzy byli żywo zainteresowani poszukiwaniem sposobu zdefiniowania tak ezoterycznych pojęć jak „ciągłość” i „wymiar” i znaleźli się na tropie odkrycia wyjaśnienia, dlaczego hołubione matematyczne przekonania mogą być błędne. Wielu ich kolegów potępiało to przedsięwzięcie jako przewrotne i szkodliwe. Ostatecznie wszyscy zdali sobie sprawę, że nie ma sensu żyć złudzeniami, przyjmując założenie, że wszystko będzie działać idealnie, podczas gdy w rzeczywistości nie ma na to szans.

Nie tylko dawne odkrycia matematyki wykorzystywane są w ten sposób. Metody transplantacji nerek opierają się na licznych nowoczesnych rozszerzeniach pierwotnego pomysłu Eulera, pośród których jest potężny algorytm optymalizacji kombinatorycznej, pozwalający dokonywać najlepszego wyboru z ogromnego zakresu możliwości. W zbiorze niezliczonych technik matematycznych wykorzystywanych przez twórców filmów animowanych są takie, które pojawiły się dopiero dekadę temu albo i mniej. Przykładem jest „przestrzeń kształtu”, nieskończenie wymiarowa przestrzeń krzywych, które uważa się za jednakowe, jeśli jedyne, czym się różnią, to zmieniające się współrzędne. Używa się ich do tworzenia sekwencji filmów animowanych, które wyglądają dużo płynniej i bardziej naturalnie. Kolejny niedawny wynalazek, uporczywa homologia, zaistniał dzięki temu, że matematycy teoretycy zapragnęli wyliczać złożone niezmienniki topologiczne, które odpowiadają liczbie wielowymiarowych dziur w kształtach geometrycznych. Wynaleziona przez nich metoda okazała się skuteczna w sytuacji, gdy zależy nam na uzyskaniu pełnego pokrycia siecią czujników budynków lub instalacji wojskowych, chronionych przed atakiem terrorystycznym bądź zwykłymi kryminalistami. Abstrakcyjne pojęcia z geometrii analitycznej – „superosobliwe grafy izogeniczne” – mogą zabezpieczyć łączność w Internecie przed potęgą komputerów kwantowych. Wprawdzie dziś komputery kwantowe są jeszcze czymś tak nowym, że można mówić jedynie o egzemplarzach pozostających w fazie badań, ale jeśli w przyszłości osiągną pełnię swoich możliwości, złamią wszystkie znane obecnie systemy szyfrowania.

Nie jest tak, że matematyka tylko sporadycznie dostarcza takich przyjemnych niespodzianek. Robi to regularnie. W zasadzie, patrząc z perspektywy wielu matematyków, można powiedzieć, że niespodzianki te są najciekawszym aspektem pracy w tej dziedzinie nauki i głównym czynnikiem przemawiającym za wyborem kariery naukowej, a nie przypadkowym zbiorem najróżniejszych sztuczek, po jednej na każde zagadnienie.

Wigner posunął się do sformułowania, iż „przedziwna skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych jest czymś graniczącym z tajemnicą i (...) nie ma dla niej żadnego racjonalnego wyjaśnienia”5. Jest oczywiście prawdą, że matematyka wyrosła przede wszystkim na problemach podsuwanych przez naukę, ale Wigner nie jest zaskoczony jej skutecznością w dziedzinach, do których planowo ją rozwijano. Zbiła go z tropu jej skuteczność w odniesieniu do zagadnień pozornie całkowicie oderwanych od głównego nurtu badań. Rachunek różniczkowo-całkowy został rozwinięty przez Isaaca Newtona przy okazji badań nad ruchem planet, nie jest więc szczególnie zaskakujące, że okazuje się on pomocny w sytuacji, gdy chcemy objaśnić to, jak poruszają się planety. Zaskakujące jest jednak to, że rachunek różniczkowo-całkowy pozwala nam formułować statystyczne oszacowania dotyczące ludzkiej populacji, jak w cytowanej historyjce Wignera, objaśnia zmiany liczby ryb odławianych na Adriatyku w trakcie pierwszej wojny światowej6, rządzi cenami opcji w sektorze finansowym, pomaga inżynierom projektować pasażerskie odrzutowce i jest niezbędny w telekomunikacji. Jest to zaskakujące, rachunek różniczkowo-całkowy nie został bowiem wynaleziony z myślą o takich zastosowaniach.

Wigner miał rację. To, że matematyka, raz za razem, nieproszona zjawia się w naukach przyrodniczych i większości obszarów ludzkiej aktywności, jest zagadkowe. Jedno z proponowanych wyjaśnień tego fenomenu jest takie, iż Wszechświat „jest zbudowany” z matematyki, a ludzie zwyczajnie dokopują się do tego podstawowego składnika. Nie zamierzam tutaj polemizować z tym poglądem, lecz pozwolę sobie zauważyć, iż jeśli wyjaśnienie to miałoby być poprawne, to jedną zagadkę zastępuje się inną, która jest jeszcze trudniejsza do rozwikłania. Dlaczego Wszechświat zbudowany jest z matematyki?

*   *   *

Na bardziej pragmatycznym poziomie można pokusić się o stwierdzenie, że matematyka przejawia kilka cech, które sprzyjają niepojętej skuteczności w sensie proponowanym przez Wignera. Jedną z tych cech, pod czym bez wahania się podpisuję, jest fakt istnienia wielu powiązań z naukami przyrodniczymi, przenoszony do świata ludzi pod postacią transformatywnych technologii. Duża liczba wielkich innowacji matematycznych naprawdę została zainicjowana badaniami naukowymi. Inne są zakorzenione w typowych ludzkich sprawach. Wiele ma źródło w podstawowej rachunkowości (ile to ja mam owiec?). Geometria znaczy tyle co „miara ziemi” – była kojarzona z opodatkowaniem gruntów, a w starożytnym Egipcie z budową piramid. Trygonometria została rozwinięta na bazie astronomii, nawigacji i kartografii.

To jednak, samo w sobie, nie jest zadowalającym wytłumaczeniem. Wiele innych wspaniałych matematycznych innowacji nie powstało w odpowiedzi na zapotrzebowanie kreowane przez badania naukowe lub ludzkie sprawy dnia powszedniego. Liczby pierwsze, liczby zespolone, algebra abstrakcyjna, topologia – odkrycia te lub wynalazki zaistniały przede wszystkim dzięki ludzkiej ciekawości i wyczuciu schematów. To drugi powód tego, że matematyka jest tak skuteczna: matematycy wykorzystują ją do poszukiwania schematów i wydobywania struktury leżącej u ich podstawy. Szukają piękna nie w formie, ale w logice. Kiedy Newton chciał zgłębić naturę ruchu planet, znalazł rozwiązanie dzięki temu, że rozumował jak matematyk i doszukiwał się schematów głęboko ukrytych w surowych wynikach obserwacji astronomicznych. W ten sposób wpadł na trop prawa powszechnej grawitacji7. Dużo największych matematycznych idei w ogóle nie miało związku z potrzebami dnia codziennego. Pierre de Fermat, prawnik, który w XVII wieku zajmował się matematyką dla zabicia czasu, dokonał w teorii liczb odkryć o fundamentalnym znaczeniu: znalazł schematy ukryte głęboko w zachowaniu zwyczajnych liczb całkowitych. Musiały upłynąć trzy stulecia, zanim jego prace w tej dziedzinie zyskały zastosowania praktyczne, jednak obecnie nie byłyby bez nich możliwe napędzające Internet transakcje komercyjne.

Kolejną cechą matematyki, która od końca XIX wieku stale się uwydatnia, jest jej ogólność. Różne struktury matematyczne mają wiele cech wspólnych. Reguły podstaw algebry i arytmetyki są identyczne. Różne rodzaje geometrii (euklidesowa, rzutowa, nieeuklidesowa, nawet topologia) są ze sobą blisko spokrewnione. Tę ukrytą spójność może uwidocznić praca, od samego początku, na ogólnych strukturach, które podlegają konkretnym regułom. Wystarczy zrozumieć ogólniki, a wszystkie szczególne przykłady stają się oczywiste. Można w ten sposób zaoszczędzić mnóstwo czasu i energii, które poszłyby na marne, gdybyśmy zasadniczo robili to samo wiele razy w nieco odmiennym języku. Ma to jednak jedną wadę: sprawia, że zagadnienia stają się bardziej abstrakcyjne. Zamiast mówić o znajomych rzeczach, takich jak liczby, ogólniki muszą odnosić się do wszystkiego, co podlega tym samym regułom co liczby, i nosić takie nazwy jak „pierścień noetherowski”, „tensor kategorii” lub „topologiczna przestrzeń wektorowa”. W skrajnych przypadkach abstrakcje tego typu mogą sprawić, że trudno już zrozumieć, czym są ogólniki, nie wspominając o umiejętności korzystania z nich. Są one jednak tak użyteczne, że ludzkość nie może się bez nich obyć. Masz ochotę na film z Netflixa? Ktoś musi popracować nad matematyką. To nie magia. Tylko na nią wygląda.

Czwarta cecha matematyki, mająca duże znaczenie dla tego wywodu, to przenośność. Jest ona konsekwencją ogólności i pokazuje, dlaczego abstrakcje są konieczne. Niezależnie od problemu, na potrzeby którego powstawały, pojęcia matematyczne i metody charakteryzuje poziom ogólności, jaki często pozwala na ich stosowanie w odniesieniu do mocno różnorodnych zagadnień. Wówczas każde zagadnienie, które może być przetworzone od nowa w ramach właściwego kontekstu, zyskuje uniwersalność. Najprostszy i najskuteczniejszy sposób uzyskania przenośnej matematyki polega na zaprojektowaniu przenośności od samego początku, przez jawne stosowanie ogólników.

Przez ostatnie dwa tysiące lat matematyka czerpała inspirację z trzech najważniejszych źródeł: mechanizmów funkcjonowania natury, działań podejmowanych przez ludzi i cechującej ludzki umysł tendencji do doszukiwania się schematów we wszystkim, co nas otacza. Na tych trzech filarach wspiera się cały gmach matematyki. Cudem jest to, że mimo różnorodnych motywacji dziedzina ta stanowi jedną zwartą całość. Każda jej gałąź, niezależnie od pochodzenia i celów, jest ściśle związana z każdą inną gałęzią – a więzi te stają się coraz silniejsze i coraz bardziej skomplikowane.

Wskazuje to na piąty powód tego, że matematyka jest tak skuteczna, oraz że dzieje się to w tak nieoczekiwany sposób: spójność. Obok zaś znajduje się szósty powód, którego istnienie zamierzam wykazać, powołując się na bogaty zbiór przykładów: różnorodność.

Realność, piękno, ogólność, przenośność, spójność, różnorodność. A wszystkie wspólnie prowadzą do użyteczności.

Nic prostszego.

CIĄG DALSZY DOSTĘPNY W PEŁNEJ, PŁATNEJ WERSJI

PEŁNY SPIS TREŚCI:

ROZDZIAŁ 1. Niepojęta skuteczność

ROZDZIAŁ 2. Jak politycy wybierają sobie wyborców

ROZDZIAŁ 3. Pozwólcie gołębiowi kierować autobusem

ROZDZIAŁ 4. Nerki z Królewca

ROZDZIAŁ 5. Uważajcie na siebie w cyberprzestrzeni

ROZDZIAŁ 6. Płaszczyzna liczbowa

ROZDZIAŁ 7. Tato, potrafisz mnożyć trojaczki?

ROZDZIAŁ 8. Sprężynki!

ROZDZIAŁ 9. Zaufajcie mi, jestem transformatą

ROZDZIAŁ 10. Uśmiech, proszę!

ROZDZIAŁ 11. Daleko jeszcze?

ROZDZIAŁ 12. De-ising Arktyki

ROZDZIAŁ 13. Wezwijcie topologa

ROZDZIAŁ 14. Lis i jeż