Matematyka w pigułce ebook

W PIGUŁCE

Autorzy

Kazimierz Nikodem

Jadwiga Nikodem

Projekt składu i okładki

Weronika Kasprzak

Sklad i lamanie

Weronika Kasprzak

Wydawnictwo Od.Nowa

43-300 Bielsko -Białą

ul.Partyzantów 6/326

e mail- [email protected]

Badaniem związków między zdaniami wypowiadanymi w matematyce zajmuje się logika matematyczna.

Zdania oznaczamy zwykle ma łymi literami: p, q, r, ... . Jeśli zdanie p jest prawdziwe, to mówimy, że ma wartość logiczną 1 i piszemy w (p) =1. Jeśli zdanie p jest fałszywe, to mówimy, że ma war tość logiczną 0 i piszemy w (p)=0. Z danych zdań możemy utworzyć nowe zdania (złożone), używając słów: i; lub; jeśli ..., to; wtedy i tylko wtedy, gdy; nieprawda, że.

Wartości logiczne powyższych zdań złożonych zależą od wartości logicznych zdań składowych. Przyjmujemy, że koniunkcja p q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p, q są prawdziwe. Alternatywa p q jest praw dziwa wtedy i tylko wtedy, gdy choć jedno ze zdań p, q jest prawdziwe. Implikacja p ⇒ q jest fałszywa, jeśli zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q fałszywe; w pozo stałych przypadkach przyj-mujemy, że im plikacja jest prawdziwa. Równoważność p ⇔ q jest prawdziwa wtedy

i tylko wtedy, gdy oba zdania p, q mają tę

samą wartość logiczną, tzn. oba są

prawdziwe lub oba fałszywe.

Negacja ~ p jest prawdziwa wtedy

i tylko wtedy, gdy zdanie p jest fałszywe.

Wyżej wy mienione zasady można

przedstawić za pomocą tabelki

wartości logicznych.

Rachunek zdań

Zdaniemnazywamy w logice każdą wypowiedź, o której można stwierdzić,

że jest prawdziwa lub fałszywa.

Zdanie: p i q nazywamy koniunkcjązdań p, q i oznaczamy symbolem p⇒q.

Zdanie: p lub q nazywamy alternatywązdań p, q i oznaczamy symbolem p⇒q.

Zdanie: Jeśli p, to q nazywamy implikacjąo poprzedniku p i następniku q i oznaczmy symbolem p ⇒ q. Zdanie: p wtedy i tylko wtedy, gdy q nazywamy równoważnościązdań p, q i oznaczmy symbolem p⇔q. Zdanie: Nieprawda, że p,nazywamy negacjązdania p i oznaczamy symbolem ~ p.

Prawem rachunku zdańnazywamy takie zdanie złożone, które

jest zawsze praw dziwe, niezależnie od wartości logicz nych zdań składowych.

• Prawo podwójnego przeczenia:p ⇔ ~ (~ p)

• Prawa de Morgana:~ (p q)⇔ (~ p ~ q);

~ (p q)⇔(~ p ~ q)

• Prawo kontrapozycji:(p ⇒ q)⇔(~ q ⇒ ~ p)

• Prawo zaprzeczenia implikacji:~ (p ⇒ q)⇔(p ~ q)

1. JĘZYK MATEMATYCZNY

Na przykład wyraże nie: x jest większe od 5, jest formą zdaniową okreś loną w zbiorze liczb rzeczywistych. Wstawiając za x liczbę 1, otrzymamy zdanie fałszywe, a przyjmując x= 7 – zdanie prawdziwe.

Jeśli formę zdaniową zmiennej x poprzedzimy kwantyfikatorem odnoszącym się do tej zmiennej, to otrzymamy zdanie. Na przykład:

(x > 5) – zdanie fałszywe,.

(x > 5) – zdanie prawdziwe.

Formą zdaniowązmiennej x określoną w zbiorze X, nazywamy wyrażenie zawierają-ce tę zmienną, które staje się zdaniem (prawdziwym lub fałszywym), gdy w miejsce zmiennej wstawimy dowolny element ze zbioru X.

Symbol nazywamy kwantyfikatoremogólnymi czytamy:

dla każdego x.

Symbol nazywamy kwantyfikatorem szczegółowymi czytamy:

istnieje x takie, że ... .

Zaprzeczeniem zdania p(x) jest zdanie ~ p(x).

Zaprzeczeniem zdania p(x) jest zdanie ~ p(x).

Są to prawa de Morganadla zdań z kwan tyfikatorem.

Matematyka jest nauką aksjomatyczno–dedukcyjną. Oznacza to, że przyjmuje się w niej bez dokładnego określenia pewne pojęcia pierwotne, oraz bez dowodu pewne fakty (zwane aksjomatami). Wszystkie dalsze fakty (zwane twierdzeniami) wy prowa dza się z nich za pomocą poprawnych rozumowań. Jedynym kryterium popraw ności rozumowań stosowanych w mate matyce są prawa logiki matematycznej. Wybór po-jęć pierwotnych i aksjomatów może być różnorodny i zależy od sposobu przed stawie nia danej teorii. Na ogół za pojęcia pierwotne przyjmuje się pojęcia intuicyjne jasne, a za aksjomaty – fakty oczywiste. Przykładami pojęć pierwotnych są: punkt, prosta, zbiór, liczba naturalna. Przy kładem aksjomatu jest przyjmowany w geometrii aksjo-mat Euklidesa, mówiący że przez każdy punkt płaszczyzny prze chodzi do kładnie jedna prosta równoległa do danej prostej. Twierdzenia matematyczne mają na ogół postać implikacji: Z⇒T. Poprzednik Z tej implikacji nazywamy założeniemtwierdzenia, a następnik T – tezą twierdzenia. Twierdzeniem odwrotnymdo twierdzenia Z ⇒T na-zywamy twierdzenie T ⇒Z. Kontrapozycjątwierdzenia Z ⇒T nazywamy twierdzenie ~T ⇒~Z. Twierdzenie i jego kontrapozycja są zawsze równoważne, tzn. mają tę samą wartość logiczną.

Matematyka jako nauka aksjomatyczno-dedukcyjna

ˣ

ˣ

ˣ

ˣ

ˣ

ˣ

ˣ

ˣ

Każde twierdzenie matematyczne, które nie zostało zaliczone do aksjomatów, należy udowodnić. Dowody twierdzeń mogą mieć różną budowę. Na przykład dowód wprostpolega na tym, aby przyjmując założenia twierdzenia za prawdziwe, wywnioskować, że teza jest prawdziwa. Dowód nie wprostpolega na tym, że do założeń twierdzenia, które przyjmujemy za prawdziwe, dołączamy zaprzeczenie tezy. Następnie prowa-dzimy rozumowanie aż do otrzymania jakiejś sprzeczności (z przyjętymi założenia-mi, aksjomatami lub udowodnionymi wcześniej twierdzeniami). Wnioskujemy stąd, że zaprzeczenie tezy jest fałszywe, czyli teza prawdziwa. Czasami, zamiast danego twierdzenia, łatwiej jest udowodnić jego kontrapozycję i skorzystać z faktu, że oba te twierdzenia są równoważne.

Załóżmy, że mamy dane dwa zbiory: A i B. Zbiór złożony z tych elementów, które nale-żą do A lub do B nazywamy sumą zbiorów A i B i oznaczamy symbolem A B. Zatem:

x ϵ A B⇔ (x ϵ A x ϵ B).

Mówimy, że zbiory A i B są rozłączne,

jeśli ich iloczyn jest zbiorem pustym.

Zbiór złożony z tych elementów, które na-leżą do A i do B nazywamy iloczynem (lub częścią wspólną) zbiorów A i B i oznaczamy symbolem A \ B. Zatem:

x ϵ A \ B ⇔ (x ϵ A x ϵ B).

Zbiór złożony z tych elementów, które na-leżą do A i do B nazywamy iloczynem (lub częścią wspólną) zbiorów A i B i oznaczamy symbolem A B. Zatem:

x ϵ A B ⇔ (x ϵ A x ϵ B).

2. ALGEBRA ZBIORÓW

Oczywiście:

A A’=∅ oraz A A’=X.

Zachodzą również następujące prawa de Morgana:

(A B)’=A’ B’ ,

(A B)’=A’ B’ .

Załóżmy, że zbiór A jest podzbiorem pewnego ustalonego zbioru

X zwanego przestrzenią. Dopełnieniemzbioru A (do przestrze-

ni X) nazywamy zbiór X \ A. Oznaczamy go symbolem A’ .

Niech

Wówczas:

oraz

Liczb niewymiernych nie można przed-stawić w postaci ułamka dziesiętnego skończonego ani nieskończonego okre-sowego. Znajdując jednak coraz dokład-niejsze przybliżenie dziesiętne liczby niewymiernej, otrzymujemy jej rozwinięcie w postaci ułamka dziesiętnego nieskoń-czonego nieokresowego.

Każdą liczbę wymierną można przed-stawić w postaci ułamka dziesiętnego, przy czym jest to ułamek skończony lub nieskończony okresowy. Przedstawienie takie (zwane rozwinięciem dziesiętnym) uzyskujemy dzieląc licznik ułamka przez jego mianownik.

Liczby 1, 2, 3, ... nazywamy liczbami naturalnymi. (Czasami do liczb naturalnych zalicza się też 0; zależy to jedynie od przyjętej umowy). Zbiór liczb naturalnych oznaczamy symbolem N. Liczby: 0, 1, –1, 2, –2, ... nazywamy liczbami całkowity-mi. Liczby postaci: p/q, gdzie p i q są całkowite i q≠0, nazywamy liczbami wy-miernymi. Oczywiście każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą, a każda liczba całkowita jest liczbą wymierną. Istnieją liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka p/q. Są to liczby niewymierne. Takimi liczbami są na przykład: π, 2, 3, 1+2 5 itp. Zbiór złożony z wszystkich liczb wymiernych i niewymiernych nazywamy zbiorem liczb rzeczywistych i oznaczamy symbolem R.

Zbiory liczbowe

W zbiorze liczb rzeczywistych określone są działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (z wyjątkiem dzielenia przez 0).

Zachodzą następujące własności:

Działania arytmetyczne

3. LICZBY RZECZYWISTE

Aby znaleźć największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb naturalnych, rozkła-damy dane liczby na czynniki pier wsze, wybieramy wspólne czynniki i mno żymy je przez siebie.

Aby znaleźć największy wspólny dzielnik(NWD) dwóch liczb naturalnych, roz-kładamy dane liczby na czynniki pierwsze, wybieramy wspólne czynniki i mnoży-my je przez siebie.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność(NWW) dwóch liczb natural-nych, rozkładamy dane liczby na czynniki pierwsze i mnożymy wszystkie czyn-niki występujące w pierwszej z nich przez te czynniki drugiej, których nie było w pierwszej.

Z definicji potęgi wynikają następujące wzory:

aᵐan=aᵐ ⁿ

aᵐ : an=aᵐ ⁿ (dla m>n i a≠0)

(aᵐ)n=aᵐ ⁿ

(a b)ⁿ=aⁿ bⁿ

(a/b)ⁿ= aⁿ/bⁿ (dla b≠0).

Wykonując działania na potęgach, wykorzystujemy często następujące

wzory skróconego mnożenia:

kwadrat sumy:

(a+b)2=a2+2ab+b2

kwadrat różnicy:

(a−b)2=a2−2ab+b2

sześcian sumy:

(a+b)3=a3+3a2

b+3ab2+b3

sześcian różnicy:

(a−b)3=a3−3a2

b+3ab2−b3

Załóżmy, że a jest liczbą rzeczywistą i n jest liczbą naturalną.

Iloczyn a ... a, w którym występuje n czynników (równych a)

nazywamy n-tą potęgą liczby a i oznaczamy symbolem aⁿ

Liczbę a nazywamy podstawą potęgi, a liczbę n – wykładnikiem.

Potęgowanie

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

-

+

+

różnica kwadratów:

a2−b2=(a−b)(a+b),

różnica sześcianów:

a3−b3=(a−b) (a2+ab+b2),

suma sześcianów:

a3+b3=(a+b) (a2−ab+b2).

.

.

Niech n, k będą liczbami naturalnymi i n > k.

Przyjmujemy następujące oznaczenia:

n silnia: n! =1 2 ... n (0! =1),

symbol Newtona:

Współczynniki występujące w tym wzorze można łatwo wyznaczyć za pomocą tzw. trójkąta Pascala:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

dla n= 1

dla n= 2

dla n= 3

dla n= 4

1 6 4 1

..............................

..................

(Jeśli a>0 i n jest parzyste, to istnieją dwie liczby o tej własności, że bn=a: jedna dodatnia i jedna ujemna; pierwiastkiem nazywamy tylko tę dodatnią). Jeśli a <0, to można określić pierwiastek stopnia n nieparzystego z a: jest to taka liczba b, że bⁿ=a. (W tym przypadku istnieje tylko jedna liczba o tej własności i jest ona ujemna). Pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie jest określony.

Pierwiastek stopnia n z liczby a oznaczamy symbolem:

Pierwiastek stopnia 2 nazywamy też pierwiastkiem kwadratowym i oznaczamy symbolem:

Z określenia pierwiastka wynikają następujące wzory:

Uogólnieniem podanych powyżej wzorów na kwadrat i sześcian

sumy jest następujący wzór dwumianowy Newtona:

Niech n będzie liczbą naturalną. Pierwiastkiem stopnia n z liczby

a > 0 nazywamy taką liczbę nieujemną b, że bⁿ=a.

Pierwiastkowanie

.

.

.

Definicję potęgi o wykładniku naturalnym można uogólnić, przyjmując następują-ce określenia (n, m są liczbami naturalnymi):

Powyższe określenia stosujemy dla takich liczb a, dla których

prawe strony wzorów mają sens. Przyjmujemy ponadto, że dla

każdego a≠0,

Potęgi 00nie definiuje się (jest to tzw. symbol nieoznaczony).

W zbiorze liczb rzeczywistych określona jest relacja mniejszości < umożliwiająca porównywanie liczb między sobą. Relacja ta ma następujące własności:

a≠b⇒[(a<b) (b<a)] (spójność)

a< b⇒ ~ (b < a) (antysymetria)

[(a<b) (b<c)]⇒a<c(przechodniość)

Zamiast a<b piszemy też b>a. Prawdziwe są następujące równoważności:

a<b⇔a–b<0⇔–b<–a,

ab>0⇔[(a>0 b > 0) (a<0 b<0)],

ab<0⇔[(a<0 b > 0) (a > 0 b <0)].

Nierówność zostaje zachowana, jeśli obie jej strony pomnożymy przez liczbę do-datnią, a zmienia znak na przeciwny, jeśli obie jej strony pomnożymy przez liczbę ujemną:

(a<b c>0)⇒ac<bc,

(a<b c <0)⇒ac>bc.

Mówimy, że zbiór A Rjest ograniczonyz góry (z dołu), jeśli istnieje liczba większa (mniejsza) od każdej liczby z tego zbioru. Liczbę M nazywamy kresem górnymzbioru A, jeśli jest największą liczbą w tym zbiorze lub najmniejszą liczbą ograniczającą ten zbiór z góry. Liczbę m nazywamy kresem dolnymzbioru A,

jeśli jest najmniejszą liczbą w tym zbiorze lub największą liczbą

Potęga o wykładniku wymiernym

Relacja mniejszości

ograniczającą ten zbiór z dołu. Kres górny zbioruAoznaczamy symbolem supA, a kres dolny – symbolem inf A. Przyjmujemy następujący aksjomat ciągłości:

Każdy ograniczony z góry zbiór liczb rzeczywistych ma kres górny, a każdy ograniczony z dołu zbiór liczb rzeczywistych ma kres dolny.

Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować dokładnie jeden punkt na osi liczbowej i na odwrót – każdemu punktowi osi odpowiada dokładnie jedna liczba rzeczywista (zwana współrzędną tego punktu).

Przy użyciu układu współrzędnych każdemu punktowi P na płaszczyźnie można przyporządkować jednoznacznie uporządkowaną parę liczb (x, y),

gdzie x jest współrzędną rzutu prostopadłego punktu P

na oś odciętych, a y – współrzędną rzutu

prostopadłego punktu P na oś rzędnych.

Parę (x, y) nazywamy współrzędnymi

punktu P i zapisujemy P=(x, y).

Współrzędną x nazywamy odciętą,

a współrzędną y – rzędną.

Ważnym rodzajem podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych Rsą przedziały liczbo-we. Niech a, b będą liczbami rzeczywistymi takimi, że a <b. Przedziały o końcach a, b określamy następująco:

Kresem górnym zbioru {1, 1/2, 1/3, ...} jest 1 (największa liczba w tym zbiorze), a kresem dolnym – 0 (największa liczba ograniczająca ten zbiór z dołu). Kre-sem dolnym zbioru {1, 2, 3, ...} jest 1, a kres górny nie istnieje (bo zbiór ten nie jest ograniczony z góry).

Prostą, na której obrano punkt początkowy O (utożsamiany

z liczbą 0) i punkt jednostkowy (utożsamiany z liczbą 1)

nazywamy osią liczbową. Punkt O dzieli

oś na dwie półosie: dodatnią (do

której należy 1) i ujemną.

Oś liczbowa

Przedziały liczbowe

Układem współrzędnychna płaszczyźnie nazywamy układ dwóch prostopadłych do siebie osi liczbowych, przecinających się we wspólnym punkcie początkowym O. Oś poziomą nazywamy osią odciętych, a pionową – osią rzędnych.

Punkt Onazywamy początkiem układu.

– przedział otwarty:

– przedział domknięty:

– przedział lewostronnie domknięty:

– przedział prawostronnie domknięty:

Używając symboli +∞ i –∞ (plus nieskończoność i minus nieskończoność),

możemy zdefiniować przedziały nieskończone:

oraz

Rysunek przedstawia

interpretację geometryczną

przedziałów na osi liczbowej.

Zatem wartość bezwzględna liczby nieujemnej jest tą samą liczbą,

a wartość bezwzględna liczby ujemnej jest liczbą przeciwną do niej.

Dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzą związki:

Ponadto, dla każdych x, y ϵ R:

oraz

Ostatnią nierówność nazywa się nierównością trójkąta.

Wartością bezwzględnąliczby rzeczywistej x nazywamy liczbę

określoną wzorem:

Wartość bezwzględna

|5|=5, |−2|=2, |0|=0.

|x| 0, |−x|=x, =|x|.

|x+y| |x| + |y|

|x y|= |x| |y| ,

| |= | |

x

x

y

y

_

_

( y ≠ 0 ) ,

.

.

(a,b)={x ϵ R: a<x<b},

[a,b]={x ϵ R: a x b},

[a,b]={x ϵ R: a x<b},

(a,b]={x ϵ R: a<x b},

(–∞,+∞)=R.

(a,+∞)={x ϵ R: x>a},

[a,+∞)={x ϵ R: x a}, (–∞,b)={x ϵ R: x<b}, (–∞,b}={x ϵ R: x b},

Wartość bezwzględną liczby x można interpretować jako odległość na osi liczbo-wej punktu x od 0. Dla d 0 zachodzą równoważności:

Załóżmy, że b>0. Równanie:

oznacza, że x–a=b lub x–a=–b. Jego rozwiązaniem są więc dwie liczby:

Nierówność:

jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy:

czyli

Jej rozwiązaniem są więc wszystkie liczby:

Nierówność:

jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy:

czyli

Rozwiązaniem są więc wszystkie liczby:

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

x =d⇔(x=d lubx=−d),

x<d⇔(x<d ix>−d),

x >d⇔(x>d lubx<−d)

x ϵ (a–b, a+b).

x ϵ (–∞,a–b) ϵ (a+b,+∞).

x – a >– b ix – a < b,

x – a < b lubx – a >b,

x – a > – b i x – a < b,

x > a – b ix < a + b.

x= a + b i x= a - b

Funkcjąodwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y.

Niech X i Y będą dwoma (niepustymi) zbiorami.

Funkcją jest na przykład przyporządkowanie każdemu człowiekowi jego daty urodzenia, każdemu samochodowi jego numeru rejestracyjnego, czy też każdej liczbie rzeczywistej jej wartości bezwzględnej. Przyporządkowanie każdemu punktowi na płaszczyźnie koła o środku w tym punkcie nie jest funkcją (bo istnie-je wiele kół o środku w danym punkcie). Funkcje można określić różnymi sposo-bami, na przykład za pomocą opisu słownego, jednego lub kilku wzorów, tabelki, itp.

Funkcje oznaczamy zwykle literami: f, g, h, ... .

Zapis:

oznacza, że f jest funkcją odwzorowującą zbiór X w zbiór Y. Zbiór X nazy-wamy dziedzinąfunkcji f, a jego elementy – argumentami. Mówimy, że y jest wartością funkcji f w punkcie x i piszemy:

jeżeli y jest elementem zbioru Y przyporządkowanym przez funkcję f ar-gumentowi x. Jeśli każdy element zbioru Y jest wartością funkcji f w pew-nym punkcie zbioru X, to mówimy, że f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y. Zbiór Y nazywamy wtedyzbiorem wartości funkcji f. Mówimy, że funkcja f: X → Y jest różnowartościowa, jeśli różnym argumentom przyporządko-wuje różne wartości, tzn. spełniony jest warunek:

Funkcję, której argumentami i wartościami są liczby rzeczywiste, nazywa-my funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej. Dziedziną i zbiorem warto-ści takiej funkcji są podzbiory zbioru R. Jeżeli funkcja f : R→ Rokreślona jest wzorem, to przyjmujemy, że jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb x, dla których wzór ten ma sens.

f: X → Y

4. FUNKCJE — WŁASNOŚCI OGÓLNE