Umysł matematyczny ebook

Matematyczny umysł w matematycznym Wszechświecie. Co było pierwsze: kura czy jajko? Umysł tworzy matematykę, nic więc dziwnego, iż potem stwierdza, że Wszechświat, jaki bada, jest matematyczny? Czy też na odwrót: Wszechświat był matematyczny, zanim jeszcze zaistniał ludzki umysł, który powstał w długim procesie ewolucyjnym przystosowywania się do matematycznego Wszechświata? Po przeczytaniu książki Brożka i Hohola można będzie nadal utrzymywać swój dotychczasowy pogląd na to zagadnienie, ale trudno będzie przytaczać na jego poparcie nieprzekonywające argumenty.

Ks. prof. dr hab. Michał Heller

Każdy z nas nosi na karku półtora kilograma szarej masy. Ta masa rozwinęła się w procesie ewolucji wobec wyzwań, jakim musiał sprostać nasz przodek w twardej walce o byt na afrykańskiej sawannie. Dzisiaj te półtora kilograma, bez większych ewolucyjnych ulepszeń, wykorzystujemy do odkrywania Matematyki i tworzenia modeli matematycznych, zdolnych wniknąć w głębokie tajemnice Natury. Mózg, który powstał jako narzędzie przetrwania, funkcjonuje dziś jako narzędzie abstrakcji i bezinteresownego poznania naukowego. Jeśli kogoś w ogóle nie interesuje, jak to się mogło stać, niech nie bierze tej książki do ręki. Pozostali niech ją natychmiast przeczytają. Brak przygotowania matematycznego nie będzie uznany za usprawiedliwienie.

Prof. dr hab. Edward Nęcka

Michałowi Hellerowi

Wstęp

Matematyka i ewolucja

W roku 1859, tym samym, w którym ukazało się pierwsze wydanie O pochodzeniu gatunków Karola Darwina, Bernhard Riemann w Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin opublikował jeden ze swych najsłynniejszych artykułów: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. W tekście tym zajął się między innymi opisaną wcześniej przez Leonharda Eulera funkcją, którą nazwał grecką literą ζ (zeta). Jest to niezwykle ciekawa funkcja[1]. Okazało się na przykład, że statystyczny rozkład jej miejsc zerowych jest zgodny z rozkładem poziomów energetycznych ją-der atomowych ciężkich pierwiastków chemicznych. Można więc powiedzieć, że funkcja zeta w jakiś sposób „wie”, jak zbudowane są jądra atomowe! Równocześnie – a dowiódł tego w 1975 roku Siergiej Michajłowicz Woronin – funkcja zeta, mówiąc w dużym uproszczeniu, zawiera wszelkie możliwe regularne krzywe: gdyby tylko O pochodzeniu gatunków czy jakiekolwiek inne dzieło zapisać jedną krzywą, to teksty te są „zakodowane” w funkcji zeta.

Oczywiście, jak słusznie zauważa Michał Heller w eseju Czy matematyka jest poezją?[2], funkcja zeta pozwala odtworzyć jedynie kształt zapisu dzieł literackich, ale nie ich treść. Prowadzi to jednak prostą drogą – kontynuuje Heller – do ważkich filozoficznych pytań: czy to, co nazywamy treścią, nie jest tyko kondensacją formy? Czym w ogóle jest forma, a czym treść? Jaką naturę mają obiekty matematyczne? Dlaczego matematyczna funkcja pozwala na tak dokładne modelowanie zjawisk fizycznych? Czy księga natury rzeczywiście zapisana jest językiem matematyki?

Pytania te można by mnożyć – niektórym z nich poświęcimy zresztą sporo uwagi w niniejszej książce. Ale głównym przedmiotem naszego zainteresowania będzie inny problem: jak to możliwe, że nasza matematyka, która pozwoliła na sformułowanie (lub, jak wolą inni, odkrycie) funkcji zeta, pojawiła się w procesie ewolucji biologicznej? Co więcej, dlaczego matematykę uprawiać potrafi tylko jeden gatunek – Homo sapiens? W O pochodzeniu człowieka Darwin zauważa:

Nie ma żadnej wątpliwości, że istnieje ogromna różnica między umysłem człowieka znajdującego się na najniższym poziomie rozwoju a umysłem najwyżej uorganizowanego zwierzęcia. Gdyby jakaś człekokształtna małpa mogła siebie zupełnie obiektywnie zanalizować, przyznałaby, że chociaż potrafi ona obmyśleć chytry plan splądrowania ogrodu i chociaż potrafi wykorzystać kamienie do walki lub rozłupywania orzechów, to jednak myśl przekształcenia kamienia w narzędzie znajduje się zupełnie poza zasięgiem jej możliwości. Co więcej, przyznałaby, że w jeszcze mniejszym stopniu mogłaby śledzić tok metafizycznego rozumowania lub rozwiązywać problemy matematyczne, rozmyślać o Bogu lub też podziwiać piękno przyrody[3].

Darwin spieszy jednak dodać, że:

(...) różnica między umysłem człowieka i wyższych zwierząt, mimo że jest wielka, jest różnicą stopnia, a nie rodzaju. Wrażenia i odczucia, różne uczucia i zdolności, jak miłość, pamięć, zdolność do skupiania uwagi, do rozumowania, ciekawość, naśladownictwo itp., którymi szczyci się człowiek, można stwierdzić w zalążku, a nawet niekiedy zupełnie dobrze rozwinięte u niższych zwierząt. (...) Jeżeli utrzymuje się, że poczucie własnej osobowości oraz zdolności do tworzenia pojęć abstrakcyjnych itp., są specyficzne dla człowieka, to być może są one wynikiem ubocznym innych wysoko wyspecjalizowanych zdolności umysłowych, stanowiących z kolei główny rezultat stałego używania w wysokim stopniu rozwiniętej mowy[4].

Matematyka – podobnie jak inne wytwory kultury – jest tworem ludzkiego umysłu – umysłu, który stanowi produkt ewolucji i który nie może zasadniczo różnić się od umysłów innych zwierząt. Oto fascynujące pytanie: jak ewolucja wykształciła umysł matematyczny, zdolny do udowadniania złożonych twierdzeń i stosowania wyrafinowanych struktur matematycznych w naukach przyrodniczych, a zarazem blisko spokrewniony z umysłami małp, psów i ptaków? Próbie odpowiedzi na to pytanie poświęcone są poniższe rozważania.

Można jednak zapytać, dlaczego przedstawiamy Czytelnikowi kolejną książkę traktującą o biologicznych podstawach poznania matematycznego. Przecież dzieł takich jest wiele – wystarczy wymienić klasyczne już dziś pozycje, takie jak The Number Sense Stanislasa Dehaene’a[5], Where Mathematics Comes From George’a Lakoffa i Rafaela Núñeza[6] czy The Mathematical Brain Briana Butterwortha[7]. Także w języku polskim ukazały się prace poświęcone omawianemu przez nas zagadnieniu, między innymi książeczka Jacka Dębca Mózg i matematyka[8]. Uważamy jednak, że mamy do powiedzenia nieco więcej – a na pewno inaczej – niż przywoływani autorzy. Po pierwsze, na kartach tej książki staramy się pokazać, że na pełny i spójny obraz źródeł poznania matematycznego składają się trzy perspektywy: wrodzonych zdolności „protomatematycznych” (którym wiele uwagi poświęcają Dehaene i Butterworth), matematyki „ucieleśnionej” (o której piszą Lakoff i Núñez) oraz matematyki osadzonej w interakcjach społecznych (jest to kwestia prawie nieobecna w wymienionych powyżej dziełach). Po drugie, rozważania nad psychologią i biologią poznania matematycznego prostą drogą prowadzą do istotnych pytań o charakterze filozoficznym, a w szczególności do pytania o naturę obiektów matematycznych i niepojętą skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych. Neurobiolodzy i kognitywiści – tacy jak Dehaene, Lakoff i Núñez – próbują zmierzyć się z tymi zagadnieniami, wpisując się na długą listę „filozofujących naukowców”, czyli tych, których John Brockman nazywa twórcami „trzeciej kultury”. Niestety, te filozoficzne próby często kończą się uproszczeniami i pospiesznym ferowaniem ostatecznych wyroków. Nie inaczej ma się rzecz w przypadku Dehaene’a, Lakoffa czy Núñeza: wyjaśniwszy wiele w kwestii źródeł i natury poznania matematycznego, dokonują niedopuszczalnych ekstrapolacji, przekonując, że rozwiązali dyskutowany od lat problem skuteczności metod matematycznych w fizyce albo że odesłali platonizm matematyczny do lamusa. Poniżej postaramy się pokazać, że te deklaracje nie mają solidnych podstaw.

Książka ta powstała w ramach projektu badawczego „The Limits of Scientific Explanation”, sponsorowanego przez The John Templeton Foundation, a realizowanego w Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych. Chcemy podziękować Michałowi Hellerowi, Atce Brożek, Łukaszowi Kwiatkowi i Piotrowi Kocowi, którzy przejrzeli manuskrypt tej pracy i pozwolili nam ustrzec się wielu błędów. Oczywiście, wszystkie pozostałe niedociągnięcia obciążają tylko nas. Dziękujemy również Marcinowi Szwagrzykowi, który pomógł nam zaadaptować wykorzystane w pracy rysunki.

Książkę tę dedykujemy Michałowi Hellerowi, mistrzowi filozofowania w kontekście nauki, w podziękowaniu za wszystko, czego się od Niego nauczyliśmy.

Kraków, sierpień 2013

Bartosz Brożek Mateusz Hohol

Rozdział I

Zmysł liczby

1. Zwierzęta i liczby

Próbując zrozumieć źródła poznania matematycznego, musimy zacząć od pytań filo- i ontogenetycznych: kiedy i w jaki sposób zdolności matematyczne wzbogaciły arsenał umiejętności naszego gatunku? W którym momencie rozwoju osobniczego i na jakiej podstawie rozwijają się kompetencje matematyczne? Czy – jak zdaje się sugerować Stanislas Dehaene – rodzimy się z wykształconym w długim procesie ewolucji biologicznej „zmysłem liczby”, czy też nasza matematyka ma inne podstawy ewolucyjne? Jakiekolwiek próby udzielenia odpowiedzi na te pytania należy zacząć od przeglądu naszej aktualnej wiedzy o numerycznych zdolnościach innych zwierząt, a następnie porównać te zdolności najpierw z kompetencjami, z którymi rodzą się ludzie, a potem z tym, w jaki sposób z tych wrodzonych kompetencji w toku ontogenezy kształtują się zdolności matematyczne.

Albert Einstein i Leopold Infeld zauważają:

Fakt, że kot reaguje w podobny sposób wobec każdej myszy, wykazuje, że tworzy on pojęcia i teorie, służące mu za drogowskazy w jego świecie wrażeń zmysłowych. „Trzy drzewa” to coś innego niż „dwa drzewa”. Z kolei „dwa drzewa” to nie to samo, co „dwa kamienie”. Pojęcia samych tylko liczb 2, 3, 4, uwolnionych od przedmiotów, z których powstały, są tworami umysłu, opisującymi rzeczywistość naszego świata[9].

Uwaga ta zawiera ważną myśl: by zwierzęta mogły funkcjonować w świecie, potrzebują pewnych konkretnych zdolności numerycznych – muszą na przykład odróżniać dwa drzewa od trzech drzew. Einstein i Infeld podkreślają jednak, że choć zdolności takie muszą u zwierząt występować, nie mają one charakteru matematycznego, gdyż matematyka nie dotyczy pojęć konkretnych (np. „dwa drzewa”), tylko abstrakcyjnych (pojęć „samych tylko liczb 2, 3, 4”). Jak jednak jest w rzeczywistości? Czy zwierzęta posiadają umiejętności matematyczne? Temu i podobnym pytaniom psycholodzy poświęcili dużo uwagi, ale droga do zrozumienia, w jaki sposób funkcjonują umysły zwierząt, była – i wciąż wydaje się, że jest – wyboista.

Wilhelm von Osten był emerytowanym berlińskim nauczycielem matematyki, a także gorącym zwolennikiem darwinizmu. Pasjonował się zdolnościami zwierząt, a do historii przeszedł jako właściciel i trener Mądrego Hansa – rosyjskiego ogiera, który rzekomo przejawiał niespotykane zdolności poznawcze i komunikacyjne. Po kilku latach szkolenia Hansa von Osten nabrał przekonania, że niezwykły koń potrafi wskazać bieżącą datę, czytać, rozróżniać kolory, a nawet wykonywać operacje arytmetyczne i działania na ułamkach. Mądry Hans udzielał odpowiedzi na zadawane mu pytania, stukając kopytem lub wskazując nim litery na tablicy, a także kręcąc głową[10]. Opinie na temat nadzwyczajnych uzdolnień Hansa były podzielone – jedni widzieli w nich przejaw rzeczywistej inteligencji zwierzęcia, zaś inni całą sprawę uważali za mistyfikację von Ostena. Wątpliwości miała rozwiać specjalna komisja powołana w 1904 roku. W jej składzie znaleźli się psycholog, dyrektor zoo, weterynarz, a nawet kawalerzyści. Komisja nie dopatrzyła się oszustwa, jednak nie potwierdziła również nieprzeciętnych zdolności konia.

Jeden z członków komisji, psycholog z berlińskiego uniwersytetu Carl Stumpf, przeczuwał jednak, że „coś jest nie tak”, i polecił swojemu uczniowi, Oskarowi Pfungstowi, ponowne zbadanie sprawy[11]. Druga komisja, w której składzie znalazł się Pfungst, zebrała się trzy lata później. W starannie sporządzonym sprawozdaniu uczony kategorycznie zaprzeczył rzekomym nadzwyczajnym zdolnościom konia – uznał między innymi, że nie ma on przypisywanych mu talentów matematycznych. Pfungst przeprowadził badania w różnych sytuacjach eksperymentalnych: gdy Hans znajdował się (lub nie) w towarzystwie osób znających odpowiedzi na pytania, gdy pytania zadawał właściciel lub ktoś inny, gdy Hansowi zasłaniano oczy. Okazało się, że poprawność reakcji uzależniona była od podpowiedzi, jakich ludzie nieświadomie udzielali zwierzęciu – na przykład ruchami głowy sygnalizowali, kiedy Hans ma przestać stukać kopytem, by wynik operacji arytmetycznej był prawidłowy. Pfungst wyjaśniał „mądrość” Hansa nieświadomym uwarunkowaniem go za pomocą systemu nagród przez von Ostena, tak by zwracał uwagę na pewne ruchy ciała. Emerytowany nauczyciel matematyki, który był szczerze przekonany o nadzwyczajności swojego konia, nie okazał się świadomym oszustem (bardzo przeżył werdykt wydany przez Pfungsta), ale jego podopieczny nie przeszedł do historii jako pierwszy koń matematyk.

Czy Mądry Hans zasłużył na swój przydomek? Bez wątpienia – wyuczenie się skomplikowanych wzorców zachowań i reagowanie na odpowiednio zinterpretowane subtelne zachowania ludzi („mowę ciała”) to przecież przejawy inteligencji. Mądrość Hansa przejawiała się jednak w czymś innym, niż chciał tego von Osten: nie w zdolności do liczenia, ale w czymś, co można określić jako umiejętności społeczne. Bardziej interesujące jest jednak inne pytanie: czy „zdemaskowanie” Mądrego Hansa świadczy o tym, że zwierzęta (poza człowiekiem) pozbawione są kompetencji numerycznych? Nic bardziej błędnego.

Przypadek Hansa stał się impulsem do systematycznych badań nad zdolnościami numerycznymi zwierząt, prowadzonych przez psychologów i etologów. Uświadomił również naukowcom, jak dużą ostrożność należy zachować, by nie wpaść w pułapkę antropomorfizacji. Dziś książki i czasopisma naukowe pełne są świadectw rzeczywistych zdolności numerycznych u ptaków, szympansów, szczurów i wielu innych gatunków. Nie oznacza to jednak, że obserwowane u zwierząt wrodzone kompetencje numeryczne tożsame są ze zdolnościami arytmetycznymi, nie mówiąc już o „całej” matematyce[12]. O czym więc rozmawiamy, mówiąc o kompetencjach numerycznych? W literaturze zazwyczaj wymienia się w tym kontekście co najmniej trzy częściowo niezależne od siebie zdolności[13]. Są nimi:

1)  szacowanie analogowe (estymacja), polegające na porównywaniu liczebności dwóch zbiorów w celu rozstrzygnięcia, który z nich jest większy. Szacowanie nie wymaga przeliczania – proces ten ma charakter przybliżony, co oznacza, że nie musi angażować „wyodrębnionych”, dokładnych reprezentacji liczb (czasem odróżnia się zdolność szacowania wielkości niedużych zbiorów od zdolności szacowania wielkości zbiorów o znacznej liczbie elementów);

2)  subitacja (subitizing), polegająca na szybkiej i – w odróżnieniu od szacowania – precyzyjnej ocenie liczebności zbiorów zawierających niewiele elementów. Czasem subitację wiąże się z „intuicyjną” oceną liczebności;

3)  liczenie, które w porównaniu z subitacją jest procesem bardziej czasochłonnym i angażującym dodatkowe zdolności poznawcze. Liczenie pozwala określić liczebność zbiorów z większą precyzją niż szacowanie i może dotyczyć zbiorów o dużej liczbie elementów.

Przyjrzyjmy się kilku eksperymentom z udziałem zwierząt, rzucającym nieco światła na każdą z wymienionych zdolności numerycznych. Zacznijmy od umiejętności szacowania przez naczelne inne niż człowiek. W jednym z klasycznych eksperymentów, przeprowadzonym przez Duane’a M. Rumbaugha, Sue Savage-Rumbaugh oraz Marka T. Hegla, dwóm szympansom prezentowano dwie tace[14]. Na każdej z nich znajdował się stos kostek czekolady. Każdy z szympansów mógł wybrać jedną z tac i zjeść smakołyk. Aż w 90% przypadków zwierzęta wybierały tacę z większą ilością czekolady. Następne zadanie było bardziej skomplikowane. Na każdej z tac badacze ułożyli po dwa stosy kostek czekolady. Na jednej z nich pierwszy stos był znacząco większy niż drugi; na drugiej tacy kostek było w sumie więcej, ale stosy były podobnej wielkości. Szympansy nie dały się nabrać i również w tym przypadku wybierały zwykle tacę z większą liczbą smakołyków.

Nowszy eksperyment przeprowadzono z udziałem orangutanów[15]. Josep Call badał ich zdolność do szacowania, porównywania oraz przeprowadzania działań na dwóch niewielkich zbiorach, zawierających od jednego do sześciu elementów. Przedmiotem pierwszego eksperymentu była kwestia, jak naczelne radzą sobie z wyborem większego spośród dwóch zbiorów. Zbiory te były prezentowane najpierw jednocześnie, a potem także kolejno. Dzięki temu w chwili wyboru orangutan musiał polegać na pamięci, a nie bezpośredniej percepcji wzrokowej. Okazało się, że małpy radzą sobie z tym zadaniem bardzo dobrze. Z kolei w drugim eksperymencie badano zdolność orangutanów do wyboru większego zbioru, po tym jak początkowy zbiór został powiększony lub zmniejszony. W tym przypadku wyniki nie były tak jednoznaczne, ale sugerowały, że orangutany są zdolne do umysłowego łączenia (choć już nie rozdzielania) wielkości. Zdaniem Calla świadczy to o tym, że orangutany korzystają z jakichś mechanizmów reprezentacji, by wybrać zbiór zawierający większą liczbę elementów.

Zdolność do szacowania może niewątpliwie znacznie ułatwić życie wielu organizmom w różnych środowiskach, dlatego nie dziwi, że dobór naturalny „wyposażył” umysły zwierząt w taką funkcję. Pozostaje jednak pytanie, czy wybór większego zbioru przedmiotów odbywa się dzięki działaniu pojedynczego mechanizmu estymacyjnego, czy też kilku mechanizmów percepcyjnych. Josep Call i Philippe Rochat[16] sprawdzili, jak orangutany radzą sobie z wyborem większych objętości, na podstawie testu, który weryfikuje, czy badany potrafi zastosować zasadę zachowania ilości[17]. W jednym z eksperymentów wykorzystano przezroczyste pojemniki o różnych kształtach, w których podawano małpom sok. Za każdym razem orangutan miał wybrać jeden z dwóch pojemników, przy czym zawsze w jednym z nich było więcej soku niż w drugim. Orangutany w ponad 90% przypadków wybierały to naczynie, w którym było więcej soku, niezależnie od jego kształtu. Analizując ten i inne eksperymenty, w których sok – na oczach małp – przelewany był do innych pojemników, Call i Rochat zastanawiali się, jaką strategię kognitywną stosują orangutany przy wykonywaniu tego typu zadań: czy jest to bezpośrednie szacowanie objętości płynu w pojemniku niezależnie od jego kształtu, czy też wykorzystywanie czasowych i przestrzennych sygnałów pojawiających się przy przelewaniu płynu z jednego pojemnika do drugiego, czy może ustalenie, gdzie soku jest najwięcej, i śledzenie, do jakiego ostatecznie pojemnika ta porcja soku trafi. Okazało się, że jedynym spójnym wyjaśnieniem uzyskanych wyników jest uznanie, iż orangutany dysponują mechanizmem bezpośredniego szacowania objętości płynu w pojemniku. Nowsze badania Calla, przeprowadzone wraz z Danielem Hanusem, wskazują na to, że zdolność do szacowania rozwinęła się na podobnym poziomie także u innych naczelnych – szympansów, bonobo oraz goryli[18].

Nie tylko prymaty potrafią szacować. Zdolność ta wydaje się powszechna u kręgowców. Przykładowo, badania z udziałem gołębi i wron, w których miały one porównywać wizualne wzory przedstawiające różną liczbę elementów, wykazały, że ptaki te potrafią dość dobrze rozróżniać liczebność zbiorów. Okazało się również, że trafność odpowiedzi (udzielanych poprzez wciśnięcie odpowiedniego przycisku) spadała zarówno wówczas, gdy liczba porównywanych obiektów rosła, jak i wtedy, kiedy porównywane wielkości były bardziej do siebie zbliżone[19]. Przypomnijmy, że szacowanie liczebności zbiorów odbywa się na drodze analogowej, co znaczy, że nie musi angażować precyzyjnych reprezentacji numerycznych, jakie obecne są na przykład w liczeniu. W związku z tym proces szacowania jest obarczony możliwością błędu. Wiele badań wskazuje, że precyzja szacowania zależy od stosunku liczby przedmiotów znajdujących się w porównywanych zbiorach; mechanizm ten opisywany jest przez prawo Webera – Fechnera, do którego powrócimy w dalszej części tego rozdziału.

Jeśli chodzi o subitację[20], czyli szybką (ła-cińskie subitus znaczy „nagły”) i precyzyjną ocenę liczebności niewielkich zbiorów, w literaturze można znaleźć bardzo dużo wyników eksperymentów behawioralnych świadczących o tym, że zdolność ta występuje nie tylko u ludzi, lecz także u innych zwierząt, oraz że jest ona czymś innym niż liczenie[21]. Badania tej umiejętności prowadzone są na osobnikach wyuczonych liczb, reprezentowanych słownie (liczebniki) – w przypadku papug – lub graficznie (symbole) – w przypadku naczelnych innych niż człowiek. Dla przykładu: wyniki badań przeprowadzonych przez Irene M. Pepperberg oraz Jesse’ego D. Gordona[22] wskazują, że szara papuga afrykańska o imieniu Alex potrafiła natychmiast określać (w języku angielskim) liczebność, gdy prezentowanych było do sześciu elementów. Papuga radziła sobie dobrze zarówno wtedy, kiedy jej zadaniem było podanie liczby pewnej klasy obiektów znajdujących się w zróżnicowanym zestawie (np. ile jest niebieskich klocków?), jak i wtedy, kiedy miała podać łączną liczbę różnych elementów. W obydwu przypadkach liczba poprawnych odpowiedzi przekraczała 80%. Co więcej, papuga potrafiła odpowiednio zareagować, gdy w zestawie nie było żadnego elementu o określonych własnościach.

Z kolei zdolność do subitacji naczelnych była przedmiotem badań Tetsuro Matsuzawy i jego współpracowników, a uczestnikiem eksperymentów była szympansica Ai[23]. Matsuzawa zaczął uczyć Ai liczb arabskich, gdy ta miała dziewięć lat. Po lewej stronie ekranu Ai widziała wzory złożone z kropek, zaś po prawej liczby, przy czym rozkład jednych i drugich był losowy. Szympansica miała wskazać liczbę, która odnosi się do prezentowanych kropek. Ai dobrze opanowała to zadanie, a ponadto nauczyła się określać liczbę, kolor oraz rodzaj obiektu w 300 próbkach. Matsuzawa zaznacza, że Ai radziła sobie najlepiej w przypadku dwóch sekwencji: kolor, przedmiot i liczba oraz przedmiot, kolor i liczba.

Przyjrzyjmy się teraz zdolności zwierząt do liczenia[24]. By sprawdzić, czy zwierzęta korzystają jedynie z umiejętności subitacji, czy też potrafią liczyć, należy odpowiednio skracać lub wydłużać czas ekspozycji bodźców. Im jest on dłuższy, tym bardziej zwierzęta skłonne są do wielokrotnego spoglądania na prezentowane wzory, co może wskazywać na wykorzystanie rudymentarnej formy liczenia („protoliczenia”). Należy jednak pamiętać, że granica między liczeniem a subitacją – w szczególności gdy bada się je opisaną metodą – może być płynna.

Zdolność do rudymentarnych form liczenia badana była na bardzo wielu gatunkach zwierząt. Na przykład w klasycznych eksperymentach przeprowadzonych w latach pięćdziesiątych XX wieku przez Ottona Koehlera badano, czy kruki potrafią liczyć kropki w przedziale od 1 do 7[25]. Krukom prezentowano najpierw na kartce papieru wzór złożony z kropek, a następnie miały one odnaleźć pokrywkę od garnka, na której widniała taka sama liczba kropek. Kropki na papierze i na pokrywkach układały się w różne wzory przestrzenne. Udzielenie poprawnej odpowiedzi wiązało się z gratyfikacją w postaci smakołyku. Poprawność odpowiedzi była bardzo duża, mimo że wzory oraz wielkość kropek były ciągle zmieniane. Koehler twierdził, że za uzyskane wyniki odpowiedzialny jest zmysł wizualno-przestrzenny. W wypadku tego eksperymentu trudno jednak rozstrzygnąć, czy kruki korzystały z liczenia, czy raczej z subitacji. W innym klasycznym badaniu zdolności do liczenia u ptaków, aby otrzymać nagrodę, gołębie uderzały przycisk dziobem. Jeśli zrobiły to odpowiednią liczbę razy, dostawały smakołyk[26]. Patki szybko nauczyły się sprawnie wykonywać to zadanie. W tym wypadku rodzi się jednak kolejny problem interpretacyjny: czy tego typu zdolności, oparte na warunkowaniu instrumentalnym, można utożsamiać z liczeniem?

Mniejsze wątpliwości można mieć w przypadku zdolności do liczenia u naczelnych innych niż człowiek. W badaniach przeprowadzonych przez Sarę Boysen oraz Gary’ego Berntsona[27] sprawdzano, czy szympansy podczas obliczeń korzystają z reprezentacji numerycznych. Okazało się, że małpy te potrafią równie dobrze prowadzić obliczenia (sumować) zarówno na fizycznych przedmiotach, jak i na liczbach arabskich w zakresie od 1 do 4. Przed szympansem stawiano tacę, nad którą znajdowały się trzy miseczki[28]. Na tacy naukowcy kładli przedmiot, zaś na miseczkach od 1 do 3 przedmiotów. Szympansy warunkowane były w ten sposób, że jeśli wskazały miseczkę z liczbą smakołyków, która odpowiadała ich liczbie na tacy, otrzymywały nagrodę w postaci pożywienia. Gdy szympansy nauczyły się już dobrze tego przyporządkowania, przedmiot na jednym ze spodeczków został zastąpiony przez kartkę papieru, na której zapisano arabską cyfrę 1. Szympansy miały się nauczyć, że jednemu przedmiotowi na tacy odpowiada cyfra 1. Gdy opanowały to zadanie, dwa przedmioty na innym spodeczku zostały podmienione na kartkę z cyfrą 2. Analogicznie postąpiono z cyfrą 3 oraz wprowadzono cyfrę 4. Gdy szympansy nauczyły się już graficznych reprezentacji liczb, próbowano nauczyć je rozwiązywania zadań numerycznych. W klatkach małp umieszczono trzy schowki, w których mogły się znajdować pomarańcze. Po zajrzeniu do schowka szympans miał wskazać jedną z cyfr. Otrzymywał nagrodę, jeśli wskazana cyfra odpowiadała sumie pomarańczy znajdujących się we wszystkich schowkach. W dalszej części eksperymentu pomarańcze zostały zastąpione kartkami z zapisanymi na nich cyframi. Szympansy miały zsumować liczby i wskazać cyfrę z odpowiednim wynikiem. Trafność udzielanych przez nie odpowiedzi wynosiła około 70%.

Można z tego wnosić, że szympansy są zdolne do opanowania kardynalnego aspektu liczby (np. potrafią przyporządkować trzy pomarańcze do cyfry 3). Bardziej zaawansowana zdolność liczenia wymaga jednak jeszcze opanowania aspektu porządkowego, który pozwala na rozumienie hierarchii następujących po sobie liczb. Przykład wspominanej już szympansicy Ai świadczy o tym, że i tę zdolność – przynajmniej w rudymentarnej formie – potrafią opanować naczelne inne niż człowiek[29]. Proces treningu był bardzo prosty. Szympansicy pokazywano na ekranie cyfrę 1. Dotykając jej, małpa otrzymywała nagrodę. Następnie na ekranie w przypadkowej kolejności pojawiały się 1 i 2. Nagradzane było dotknięcie cyfr w odpowiedniej kolejności, czyli najpierw 1, a potem 2. Później wprowadzono kolejne cyfry, aż do 9. Po odpowiednim treningu Ai całkiem dobrze radziła sobie z porządkowaniem liczb (ok. 80% poprawnych odpowiedzi).

Omówione wyżej eksperymenty pokazują, że zdolność do szacowania oraz subitacji jest czymś powszechnym w królestwie zwierząt. Z kolei liczenie wywołuje znacznie więcej kontrowersji. Choć ptaki dysponują niewątpliwie zdolnościami numerycznymi, trudno jednoznacznie stwierdzić, czy potrafią one liczyć w tym samym sensie co na przykład szympansy, nie mówiąc już o ludziach. Wydaje się, że porównania zdolności poznawczych ludzi i innych zwierząt nie wspierają jednoznacznie tezy, że zwierzęta są zdolne do liczenia. Można się spierać nawet o to, czy umiejętności opanowane przez szympansicę Ai można określić mianem „liczenia”. Trzeba przecież zauważyć, że jest to „liczenie” w bardzo ograniczonym zakresie, a przy tym będące wynikiem długotrwałego treningu zaordynowanego przez ludzi. Szympansy żyjące w środowisku naturalnym nie wykazują się (ani nawet nie mają okazji się wykazać) umiejętnością liczenia. Mówiąc ogólniej, choć istnienie zdolności numerycznych u zwierząt jest niewątpliwym faktem, trudno ustalić, jak mają się one do ludzkich umiejętności matematycznych. Jak słusznie zauważają Zhanna Reznikova i Boris Ryabko, „wciąż brakuje nam odpowiedniego »języka« analizy porównawczej”[30].

Prowadzi to do jeszcze innego problemu: czy na pewno psycholodzy, etolodzy i kognitywiści odrobili wspomnianą przez nas na początku tego rozdziału lekcję wypływającą z historii Mądrego Hansa? Być może nasze szczytne zamiary prowadzą nas na manowce tak jak Wilhelma von Ostena? Choć standardy metodologiczne chronią nas dziś przed wieloma błędami, pokusa antropomorfizacji jest wielka – być może czasem za bardzo chcemy przypisać zwierzętom zdolności matematyczne obserwowane u ludzi. Einstein i Infeld – w przywoływanej wyżej wypowiedzi – mają zapewne rację, uczulając na różnicę pomiędzy konkretnymi, praktycznymi zdolnościami numerycznymi a abstrakcyjnym liczeniem.

[1] Zob. K. Maślanka, Liczba i kwant, OBI – Biblos, Kraków – Tarnów 2004.

[2] Zob. M. Heller, Czy matematyka jest poezją, „Postępy Fizyki”, 63, 1, 2012, s. 2–4.

[3] K. Darwin, O pochodzeniu człowieka, przeł. S. Panek, Państwowe Wydawnictwo Rolnicze i Leśne, Warszawa 1959, s. 80.

[4]Ibidem, s. 80–81.

[5] Zob. S. Dehaene, The Number Sense. How the Mind Created Mathematics, Revisted and Expanded Edition, Oxford University Press, Oxford – New York 2011.

[6] Zob. G. Lakoff, R.E. Núñez, Where Mathematics Comes From. How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, Basic Books, New York 2000.

[7] Zob. B. Butterworth, The Mathematical Brain, Macmillan, Oxford 1999.

[8] Zob. J. Dębiec, Mózg i matematyka, OBI – Biblos, Kraków – Tarnów 2002.

[9] A. Einstein, L. Infeld, Ewolucja fizyki. Rozwój poglądów od najdawniejszych pojęć do teorii względności i kwantów, przeł. R. Gajewski, Prószyński i S-ka, Warszawa 1998, s. 249.

[10] Por. S. Savage-Rumbaugh, R. Lewin, Kanzi.The Ape at the Brink of the Human Mind, John Wiley & Sons, New York – Chichester – Brisbane – Toronto – Singapore 1994, s. 50.

[11] Zob. S. Dehaene, The Number Sense, op. cit., s. 4–6; M. Trojan, Na tropie zwierzęcego umysłu, Scholar, Warszawa 2013, s. 9–11.

[12] Zagadnieniu temu przyjrzymy się szczegółowo w rozdz. II i III.

[13] Zob. H. Davis, R. Pérusse, Numerical Competence in Animals: Definitional Issues, Current Evidence, and a New Research Agenda, „Behavioral and Brain Sciences” 1988, 8, 4, s. 561–579; M. Trojan, Na tropie zwierzęcego umysłu, op. cit., s. 119–145; dalej omawiamy niektóre z eksperymentów opisanych w tej wszechstronnej monografii poświęconej zdolnościom poznawczym zwierząt.

[14] Zob. D.M. Rumbaugh, S. Savage-Rumbaugh, M.T. Hegel, Summation in the Chimpanzee (Pan Troglodytes), „Journal of Experimental Psychology: Animal Behavior Processes” 1987, 13, 2, s. 107–115.

[15] Zob. J. Call, Estimating and Operating on Discrete Quantities in Orangutans (Pongo pygmaeus), „Journal of Comparative Psychology” 2000, 114, 2, s. 136–147.

[16] Zob. J. Call, Ph. Rochat, Perceptual Strategies in the Estimation of Physical Quantities by Orangutans (Pongo pygmaeus), „Journal of Comparative Psychology” 1997, 111, 4, s. 315–329.

[17] Przebieg tego zadania z udziałem dzieci można zobaczyć, wpisując w wyszukiwarce YouTube „piagetian conservation task”.

[18] Zob. D. Hanus, J. Call, DiscreteQuantity Judgments in the Great Apes (Pan paniscus, Pan troglodytes, Gorilla gorilla, Pongo pygmaeus): The Effect of Presenting Whole Sets Versus Item-by-Item, „Journal of Comparative Psychology” 2007, 121, 3, 241–249.

[19] Zob. J. Emmerton, A. Lohmann, J. Niemann, Pigeons’ Serial Ordering of Numerosity with Visual Arrays, „Animal Learning and Behaviour” 1997, 25, s. 234–244; A.A. Smirnova, O.F. Lazereva, Z.A. Zorin, Use of Number by Crows: Investigation by Matching and Oddity Learning, „Journal of Experimental Analysis of Behavior” 2000, 73, s. 115–122.

[20] Termin subitizing nie doczekał się dobrego polskiego odpowiednika; mimo pewnych oporów korzystamy z dość niezgrabnej kalki językowej („subitacja”).

[21] Zob. M. Trojan, Na tropie zwierzęcego umysłu, op. cit., s. 127–130; tam też można znaleźć niezwykle obszerną bibliografię.

[22] Zob. I.M. Pepperberg, J.D. Gordon, Numerical Comprehension by a Grey Parrot (Psitacus erithacus), Including a Zero-Like Concept, „Journal of Comparative Psychology” 2005, 119, s. 197–209.

[23] Zob. T. Matsuzawa, Use of Numbers by a Chimpanzee, „Nature” 1985, 315, s. 57–59; T. Matsuzawa, T. Asano, K.K. Kubota, K. Murofushi, Acquisition and Generalization of Numerical Labeling by a Chimpanzee, [w:] Current Perspectives in Primate Dynamics, red. D.M. Taub, F.A. King, Von Nostrand Reinhold, New York 1986, s. 416–430.

[24] Zob. M. Trojan, Na tropie zwierzęcego umysłu, op. cit., s. 130–144.

[25] Zob. O. Koehler, Thinking without Words, [w:] Proceedings of the 14th International Congress of Zoology, Danish Science P., Copenhagen 1956.

[26] Zob. W. Arndt, Abschliessende Vershuche zür Frage des „Zähl”-Vermogen der Haustaube, „Zeitschrift für Tierpsychologie” 1939, 3, s. 88–142.

[27] Zob. S.T. Boysen, G.G. Berntson, Numerical Competence in a Chimpanzee (Pan troglodytes), „Journal of Comparative Psychology” 1989, 103, 1, s. 23–31.

[28] Zob. S.T. Boysen, Counting in Chimpanzees: Nonhuman Principles and Emergent Proporties of Number, [w:] The Development of Numerical Competence, red. S.T. Boysen, E.J. Capaldi, Lawrence Erlbaum Associates, New Jersey 1993.

[29] Zob. D. Biro, T. Matsuzawa, Chimpanzee Numerical Competence, [w:] Primate Origins of Human Cognition and Behavior, red. T. Matsuzawa, Springer, Tokyo 2008, s. 199–224.

[30] Z. Reznikova, B. Ryabko, Numerical Competence in Animals, with an Insight from Ants, „Behaviour” 2011, 148, s. 406.